Standardabweichung-Rechner

Datensatz einfügen und Standardabweichung für Stichprobe und Grundgesamtheit erhalten — mit der jeweiligen Varianz, dem Mittelwert und der Summe der Abweichungsquadrate Schritt für Schritt.

Dein Datensatz

Werte mit Semikolon, Leerzeichen oder Zeilenumbruch trennen — hier ist das Komma das Dezimaltrennzeichen.

Stichprobe (n − 1) Grundgesamtheit (n)

1.5 1,5

Standardabweichung der Stichprobe (s)

5,23723

Varianz der Stichprobe (s²): 27,4286

Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ)

4,89898

Mittelwert (x̄)

18

Werte (n)

8

Die Zahlen werden als Stichprobe gelesen. Dieselbe Kennzahl in Excel: STABW.S.

Alle Kennzahlen dieses Datensatzes

Varianz der Stichprobe (s²)

27,4286

Varianz der Grundgesamtheit (σ²)

Summe der Abweichungsquadrate (SS)

192

Summe

144

Median

18,5

Minimum

Maximum

Spannweite

Standardfehler des Mittelwerts

1,85164

Variationskoeffizient

29,1 %

Schritt für Schritt: die Summe der Abweichungsquadrate

Wert (xᵢ)	xᵢ − x̄	(xᵢ − x̄)²
10	-8	64
12	-6	36
23	+5	25
23	+5	25
16	-2	4
23	+5	25
21	+3	9
16	-2	4
Summe	0	192

Der Divisor ist 7, also Varianz der Stichprobe (s²) = 192 ÷ 7 = 27,4286; die Standardabweichung ist deren Quadratwurzel: 5,23723.

Dieselbe Streuung in quadrierten Einheiten? Zum Varianz-Rechner.

Standardabweichung berechnen: s für die Stichprobe, σ für die Grundgesamtheit.

Die Standardabweichung gibt an, wie weit die Werte einer Datenreihe im Schnitt von ihrem Mittelwert abweichen — in derselben Einheit wie die Daten. Der Rechner liest die eingefügten Zahlen wahlweise als Stichprobe (Divisor n − 1) oder als Grundgesamtheit (Divisor n) und zeigt beide Ergebnisse samt Varianz, Mittelwert und jedem einzelnen Abweichungsquadrat.

Was die Standardabweichung über deine Daten sagt

Die Standardabweichung beziffert, wie weit ein einzelner Wert typischerweise vom Mittelwert seiner Datenreihe entfernt liegt, und zwar in der Einheit der Daten selbst. Genau dafür wird am Schluss die Wurzel gezogen: Die Varianz beschreibt dieselbe Streuung, aber in quadrierten Einheiten, in denen niemand denkt. Kilogramm bleiben Kilogramm, Sekunden bleiben Sekunden.

Diese Seite startet mit acht Werten, damit die Form der Antwort dasteht, bevor du etwas eintippst: 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16. Ihre Summe ist 144, der Mittelwert also 18. Der Abstand jedes Werts zu diesen 18, quadriert und aufaddiert, ergibt 192 — die Summe der Abweichungsquadrate. Durch 7 geteilt sind das 27,4286 als Varianz der Stichprobe, und deren Wurzel ist 5,23723, die Standardabweichung der Stichprobe. Dieselben 192 durch 8 geteilt ergeben die Kennzahlen der Grundgesamtheit: Varianz 24 und Standardabweichung 4,89898.

Beide Zahlen sind richtig; sie beantworten nur verschiedene Fragen. Sind die acht Werte das, was du von einer größeren Menge erfassen konntest — acht Klausuren aus einem Jahrgang von 200 —, dann ist die Stichprobenform mit dem Divisor 7 die ehrliche Schätzung, und das deutsche Excel nennt sie STABW.S. Sind die acht Werte die vollständige Menge, ist die Form der Grundgesamtheit mit dem Divisor 8 exakt, und Excel nennt sie STABW.N. Der Rechner zeigt immer beide Zahlen und schreibt unter die Karten, welche Funktion zur gewählten Basis gehört — damit aus der Wahl kein stiller Unterschied zur Tabelle wird, aus der du die Spalte kopiert hast.

Was die 5,23723 bedeutet, entscheidet sich erst neben dem Mittelwert. Bei einem Mittelwert von 18 sind das 29,1 Prozent des Durchschnittswerts — der Variationskoeffizient, den der Rechner mit ausgibt. Dieselbe 5,23723 wäre neben einem Mittelwert von 1.800 ein Rundungsfehler. Deshalb gibt der Kennzahlenblock den Variationskoeffizienten mit aus, zusammen mit Median 18,5, Minimum 10, Maximum 23, Spannweite 13 und dem Standardfehler des Mittelwerts von 1,85164.

Eine Beziehung gilt für jede Datenreihe: s ist die größere der beiden Zahlen, weil ein kleinerer Divisor einen größeren Quotienten ergibt. Die einzige Ausnahme ist eine Reihe aus lauter gleichen Werten — mindestens zwei davon —, bei der die Summe der Abweichungsquadrate null ist und beide Ergebnisse null lauten.

Daten einfügen: Komma, Semikolon und die Spalte aus Excel

Das Datenfeld ist ein einziger Kasten, der eine ganze Spalte auf einmal nimmt. Es fasst 5.000 Zeichen — mehrere hundert Zahlen aus einer Tabelle — und Zeilenumbrüche zählen als Trennzeichen. Eine Spalte aus Excel, LibreOffice Calc, Google Tabellen oder einer CSV-Datei lässt sich also direkt hineinkopieren, ohne sie vorher in eine Zeile umzuformatieren.

Darunter liegen zwei Schalter. Der erste wählt die Basis: „Stichprobe (n − 1)“ oder „Grundgesamtheit (n)“. Er entscheidet, welche Zahl auf der Hauptkarte steht und welche Tabellenfunktion darunter genannt wird. Der zweite wählt das Dezimaltrennzeichen, beschriftet mit 1.5 und 1,5, und er entscheidet, was ein Komma in deiner Liste überhaupt bedeutet. Für diese Seite ist das Komma voreingestellt, weil deutsche Tabellen so exportieren; der Hinweistext unter dem Feld wechselt mit der Wahl mit.

1. Mit dem Dezimaltrennzeichen 1,5 ist das Komma ein Dezimalzeichen und trennt nicht mehr. Getrennt wird durch Semikolon, Leerzeichen, Tabulator und Zeilenumbruch, und ein Punkt gilt als Tausenderpunkt: Aus 1.234,5 wird der eine Wert 1234,5. Die Voreinstellung 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16 ist genau dieser Fall — Semikolons zwischen den Werten, wie sie eine deutsche CSV-Datei liefert.

2. Mit dem Dezimaltrennzeichen 1.5 trennt zusätzlich das Komma, und eine Tausendergruppierung wird nicht erkannt: Aus 1,234.5 werden zwei Werte, 1 und 234,5. Semikolon, Leerzeichen, Tabulator und Zeilenumbruch trennen in beiden Modi.

3. Derselbe Text ergibt je nach Schalter etwas anderes. 1,5 2,7 3,1 sind im Komma-Modus drei Werte und im Punkt-Modus sechs. Nach jedem Einfügen lohnt deshalb ein Blick auf die Karte „Werte (n)“: Steht dort mehr, als du eingefügt hast, trennt ein Komma etwas, das du als Dezimalstelle gemeint hast.

Negative Zahlen und Exponentialschreibweise überstehen das Einlesen: Ein Minuszeichen vor der Zahl bleibt erhalten, und 1,5e3 wird im Komma-Modus als 1500 gelesen. Alles, was keine Zahl ist, wird beiseitegelegt statt stillschweigend verschluckt — die ersten fünf dieser Einträge nennt der Rechner namentlich unter den Ergebnissen: „Diese Einträge sind keine Zahlen und wurden ausgelassen“. Eine mitkopierte Überschrift oder ein Feld mit „k. A.“ taucht damit als Textzeile auf dem Bildschirm auf, statt den Mittelwert hinter deinem Rücken zu verschieben.

Die Formel für s und σ

s = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2}{n - 1}}

$s$ = Standardabweichung der Stichprobe — die Zahl auf der Hauptkarte, in der Einheit deiner Daten
$\sigma$ = Standardabweichung der Grundgesamtheit — dieselbe Rechnung mit n als Divisor
$x_i$ = Der i-te Wert der Datenreihe
$\bar{x}$ = Der Mittelwert: die Summe der Werte geteilt durch ihre Anzahl
$n$ = Die Anzahl der Werte in der Datenreihe
$\sum$ = Addiere das Folgende, einmal für jeden Wert der Reihe

Die Form für die Grundgesamtheit ändert den Divisor und sonst nichts:

\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2}{n}}

Beide starten bei derselben Größe, der Summe der Abweichungsquadrate:

SS = \sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2

Für die acht Werte oben ist SS gleich 192. Wird sie geteilt, entsteht eine Varianz — 192 ÷ 7 = 27,4286 auf Stichprobenbasis, 192 ÷ 8 = 24 auf Basis der Grundgesamtheit — und die Standardabweichung ist die Wurzel daraus, 5,23723 beziehungsweise 4,89898. Genau diese Kette schreibt der Rechner unter die Tabelle: „Der Divisor ist 7, also Varianz der Stichprobe (s²) = 192 ÷ 7 = 27,4286; die Standardabweichung ist deren Quadratwurzel: 5,23723.“ Bei der Division stehen zu bleiben ist der häufigste Punktverlust in einer korrigierten Übung, weil eine Varianz wie eine plausible Zahl aussieht — nur eben in falschen Einheiten.

Das n − 1 der Stichprobenform ist die Bessel-Korrektur. Du ziehst den Mittelwert der Stichprobe ab, nicht den unbekannten Mittelwert der Grundgesamtheit, und die Werte einer Stichprobe liegen immer ein wenig näher an ihrem eigenen Mittelwert als an dem der Grundgesamtheit. Ein Divisor n würde diese Verzerrung übernehmen; n − 1 hebt sie auf. Microsoft schreibt zu genau der Funktion, die dieser Basis entspricht: „Die Standardabweichung wird mithilfe der Methode ‚n-1‘ berechnet“ — und verweist alle, die eine vollständige Grundgesamtheit vor sich haben, weiter: „Entsprechen die als Argumente übergebenen Daten dagegen einer Grundgesamtheit, sollte die zugehörige Standardabweichung mithilfe der Funktion STABW.N berechnet werden.“

Standardabweichung von Hand berechnen — in fünf Schritten

Fünf Schritte führen zur Zahl, und die Tabelle unter den Ergebnissen legt die Schritte 2 bis 4 so aus, dass sie sich auf ein Übungsblatt übertragen lassen. Hier durchgerechnet an den acht Werten, mit denen die Seite startet.

1. Mittelwert bilden. 10 + 12 + 23 + 23 + 16 + 23 + 21 + 16 = 144, und 144 ÷ 8 = 18.

2. Von jedem Wert den Mittelwert abziehen. Das ergibt −8, −6, +5, +5, −2, +5, +3, −2. Diese Spalte vor dem Weiterrechnen einmal aufaddieren: −8 − 6 + 5 + 5 − 2 + 5 + 3 − 2 = 0. Die Abweichungen von einem richtigen Mittelwert heben sich immer auf. Deshalb lassen sie sich nicht so mitteln, wie sie dastehen — und deshalb ist eine Summe ungleich null der sichere Hinweis auf einen falschen Mittelwert.

3. Jede Abweichung quadrieren: 64, 36, 25, 25, 4, 25, 9, 4.

4. Die Quadrate addieren: 192. Diese Summe ist die Summe der Abweichungsquadrate, und sie steht in der Zeile „Summe“ der Schritt-für-Schritt-Tabelle.

5. Durch den passenden Divisor teilen und die Wurzel ziehen. Für eine Stichprobe: 192 ÷ 7 = 27,4286 und √27,4286 = 5,23723. Für eine Grundgesamtheit: 192 ÷ 8 = 24 und √24 = 4,89898.

Die Tabelle unter den Ergebniskarten trägt genau diese Spalten — Wert (xᵢ), xᵢ − x̄ und (xᵢ − x̄)² — mit 192 in der Summenzeile. Bei langen Datenreihen listet sie die ersten 30 Zeilen auf und nennt in der Bildunterschrift die Gesamtzahl, aus der sie stammen; die Summenzeile umfasst weiterhin alle Werte, sodass die Summe der Abweichungsquadrate nie nur ein Ausschnitt ist.

Stichprobe oder Grundgesamtheit: was sich ändert

Kennzahl	Stichprobe (n − 1)	Grundgesamtheit (n)
Divisor für die 192 Abweichungsquadrate (n = 8)	7	8
Varianz der acht Beispielwerte	27,4286	24
Standardabweichung derselben Daten	5,23723	4,89898
Symbol in Skript und Klausur	s und s²	σ und σ²
Funktion im deutschen Excel	STABW.S	STABW.N
Alter Excel-Name, nur noch aus Kompatibilität	STABW	STABWN
Richtig, wenn …	die Zahlen Teil einer größeren Menge sind	die Zahlen die vollständige Menge sind
Ergebnis bei genau einem Wert	existiert nicht (—)	0

Durchgerechnete Beispiele

Die acht Werte, mit denen die Seite startet

Die Reihe 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16 ergibt auf Stichprobenbasis eine Standardabweichung von 5,23723, mit der Varianz der Stichprobe 27,4286 darunter, und auf der Karte daneben die Standardabweichung der Grundgesamtheit 4,89898. Der Mittelwert ist 18, n ist 8. Der Kennzahlenblock ergänzt den Rest: Varianz der Grundgesamtheit 24, Summe der Abweichungsquadrate 192, Summe 144, Median 18,5, Minimum 10, Maximum 23, Spannweite 13, Standardfehler des Mittelwerts 1,85164 und Variationskoeffizient 29,1 %. Unter den Karten steht eine Zeile, die die Basis in Worten nennt: „Die Zahlen werden als Stichprobe gelesen. Dieselbe Kennzahl in Excel: STABW.S.“

Dieselben Daten als Grundgesamtheit gelesen

Ein Klick auf „Grundgesamtheit (n)“ tauscht die Karten. Vorn steht jetzt 4,89898 mit der Varianz 24 darunter, 5,23723 rückt auf die zweite Karte, und die Zeile darunter nennt STABW.N. Im Kennzahlenblock bewegt sich nichts, und der Mittelwert auf seiner Karte auch nicht: Summe der Abweichungsquadrate, Median, Spannweite und der Rest hängen nicht von der Basis ab — nur der Divisor tut das, und die Bildunterschrift der Tabelle rechnet dann 192 ÷ 8 = 24 statt 192 ÷ 7 = 27,4286. Schneller lässt sich für die eigene Datenmenge nicht sehen, wie viel n − 1 überhaupt ausmacht: Hier sind es knapp 7 % auf die Standardabweichung, und mit wachsendem n wird der Abstand kleiner.

Eine englisch formatierte Liste im deutschen Modus — der stille Fehler

Fünf Laborwerte aus einer englischsprachigen Vorlage, 2.5, 3.1, 4.8, 5.2, 6.0, im voreingestellten Komma-Modus eingefügt: Die Karte „Werte (n)“ zeigt 5, also genau die erwartete Anzahl, und keine einzige Zeile wird als unlesbar gemeldet. Trotzdem steht der Mittelwert bei 43,2 und die Standardabweichung der Stichprobe bei 14,6867, dazu Varianz 215,7, Summe der Abweichungsquadrate 862,8, Median 48 und Spannweite 35. Der Grund: Im Komma-Modus ist der Punkt der Tausenderpunkt, aus 2.5 wird also 25. Die Anzahl deckt diesen Fall nicht auf — der Mittelwert tut es. Ein Umschalten auf das Dezimaltrennzeichen 1.5 liest dieselbe Zeile als 2,5 bis 6 und liefert Mittelwert 4,32 und Standardabweichung 1,46867. Der Variationskoeffizient bleibt in beiden Lesarten bei 34 % — er ist ein Verhältnis und ändert sich nicht, wenn alle Werte um denselben Faktor danebenliegen. Genau deshalb taugt er nicht als Kontrolle für diesen Fehler.

NumAcc1: der Referenzdatensatz, mit dem das NIST Präzisionsverluste sichtbar macht

Das NIST veröffentlicht neun Referenzdatensätze mit zertifizierten Werten, damit sich Software daran prüfen lässt. Der kleinste heißt NumAcc1 und besteht aus drei achtstelligen Ganzzahlen: 10000001, 10000003 und 10000002. Zertifiziert sind ein Mittelwert von exakt 10000002 und eine Standardabweichung der Stichprobe von exakt 1. Mit Semikolons eingefügt braucht es dafür keinen Moduswechsel: Auf der Karte steht exakt 1, daneben 0,816497 für die Grundgesamtheit, der Mittelwert erscheint ungekürzt als 10.000.002 und die Summe der Abweichungsquadrate als 2. Der Reiz solcher Zahlen liegt darin, dass die Arithmetik trivial ist und das Rechnen mit Gleitkommazahlen es nicht ist: Sieben identische führende Ziffern lassen der Subtraktion fast nichts übrig.

Fehler, die das Ergebnis verändern

Die Varianz statt der Standardabweichung abgeben — 192 ÷ 7 = 27,4286 ist die Varianz, die Standardabweichung ist deren Wurzel, 5,23723. Das Teilen ist der vorletzte Schritt, das Wurzelziehen der letzte. Eine Zahl, die das Quadrat der gesuchten ist — 27,4286 dort, wo 5,23723 hingehört —, und dazu in quadrierten Einheiten, ist fast immer dieser Fehler.
Englisch formatierte Zahlen im Komma-Modus einfügen — aus 2.5 wird dann 25, und der Rechner meldet nichts, weil die Anzahl der Werte stimmt. Die Kontrolle ist hier der Mittelwert, nicht die Karte „Werte (n)“: Steht er um eine Zehnerpotenz zu hoch, gehört der Schalter auf 1.5.
Die rohen Abweichungen mitteln statt ihre Quadrate — die Abstände zum Mittelwert heben sich konstruktionsbedingt auf: −8 − 6 + 5 + 5 − 2 + 5 + 3 − 2 = 0. Gemittelt werden die Quadrate, und genau deshalb kommt das Ergebnis in quadrierten Einheiten heraus und braucht die Wurzel.
Die Basis aus Gewohnheit wählen statt nach den Daten — die Form der Grundgesamtheit ist nur dann exakt, wenn im Feld die vollständige Menge steht. Für einen Ausschnitt weist sie die Streuung zu niedrig aus: 4,89898 gegen 5,23723 bei denselben acht Werten. Die Entscheidungsfrage lautet, ob jemand mehr vom selben hätte messen können; wenn ja, ist es eine Stichprobe.
STABW.N für die Stichprobe halten — das Kürzel .S steht für Stichprobe, das .N für den Divisor n, also für die Grundgesamtheit. Englischsprachige Anleitungen schreiben an dieser Stelle STDEV.P; im deutschen Excel heißt dieselbe Funktion STABW.N. Die Zeile unter den Ergebniskarten nennt immer die Funktion zur gerade gewählten Basis.
Den Standardfehler als Standardabweichung berichten — bei den acht Beispielwerten sind das 1,85164 gegen 5,23723. Der Standardfehler beschreibt, wie genau der Mittelwert getroffen ist; die Standardabweichung beschreibt, wie weit die einzelnen Werte streuen. Verwechselt wirken die Daten fast dreimal so ordentlich, wie sie sind.
Zwischendurch runden — werden die Abweichungen auf zwei Nachkommastellen gekürzt, wandert der Fehler durch das Quadrieren und die Division weiter. Die Seite zeigt sechs signifikante Stellen statt zwei Nachkommastellen, damit einmal am Ende gerundet werden kann, auf die Genauigkeit, die die Messung hergibt.

Begriffe — und wo deutsche Skripte auseinandergehen

Summe der Abweichungsquadrate (SS)

Die Summe aller quadrierten Abstände zwischen einem Wert und dem Mittelwert, geschrieben Σ(xᵢ − x̄)². Für die Voreinstellung dieser Seite sind das 192, und sie ist die Größe, die beide Varianzen teilen. Andere Bezeichnungen dafür sind Abweichungsquadratsumme und Quadratsumme.

Divisor (Freiheitsgrade)

Wodurch die Summe der Abweichungsquadrate geteilt wird: n − 1 auf Stichprobenbasis, n auf Basis der Grundgesamtheit. Bei acht Werten also 7 oder 8 — die einzige Zahl, die sich zwischen beiden Antworten ändert.

Bessel-Korrektur

Der Faktor 1/(n − 1) statt 1/n bei einer Stichprobe. Er gleicht aus, dass die Werte einer Stichprobe näher an ihrem eigenen Mittelwert liegen als am unbekannten Mittelwert der Grundgesamtheit, was die Streuung sonst zu klein erscheinen ließe.

Empirische und korrigierte Varianz

Hier gehen deutschsprachige Lehrtexte auseinander. Der Wikipedia-Artikel „Empirische Varianz“ hält fest, dass einige Autoren „empirische Varianz“ ausschließlich für die unkorrigierte Form mit dem Divisor n verwenden und „Stichprobenvarianz“ für die korrigierte mit n − 1; der Vorsatz „korrigiert“ bezieht sich dabei auf die Bessel-Korrektur. Weil dieser Rechner beide Zahlen nebeneinander ausgibt, lässt sich die im eigenen Skript gemeinte Form direkt ablesen, statt sie aus dem Namen erraten zu müssen.

Standardfehler des Mittelwerts

Die Standardabweichung der Stichprobe geteilt durch √n — 1,85164 bei den acht Beispielwerten. Er misst, wie genau der Mittelwert geschätzt ist, nicht wie weit die einzelnen Werte streuen, und er schrumpft mit wachsender Datenmenge.

Variationskoeffizient

Die Standardabweichung der Stichprobe als Prozentsatz des Mittelwerts, 29,1 % bei den acht Beispielwerten. Weil er dimensionslos ist, lassen sich damit Datenreihen in verschiedenen Einheiten vergleichen. Bei einem Mittelwert von null ist er nicht definiert.

Stichprobe und Grundgesamtheit

Eine Stichprobe ist ein Ausschnitt der Menge, über die du etwas sagen willst, geschätzt mit STABW.S; die Grundgesamtheit ist die vollständige Menge, exakt beschrieben mit STABW.N. Dieselben Zahlen können je nach Fragestellung das eine oder das andere sein.

Streuung

Der Oberbegriff für alles, was beschreibt, wie weit Werte auseinanderliegen. Standardabweichung, Varianz, Spannweite und Variationskoeffizient sind vier Streuungsmaße derselben Datenreihe, und diese Seite gibt alle vier aus.

So wird aus der Zahl eine Aussage

Lies zuerst die Karte „Werte (n)“ — sie ist die schnellste Kontrolle, ob das Einfügen so gelesen wurde, wie du es gemeint hast. Ist n größer als deine Zeilenzahl, trennt ein Komma etwas, das eine Dezimalstelle sein sollte; ist es kleiner, kleben Werte aneinander. Die Zeile mit den ausgelassenen Einträgen beantwortet den Rest.
Prüfe danach den Mittelwert — die einzige Fehlerart, die die Anzahl nicht aufdeckt, ist der als Tausenderpunkt gelesene Dezimalpunkt. Ein Mittelwert, der um den Faktor 10 oder 100 danebenliegt, ist dieser Fall und kein Datenproblem.
Addiere die mittlere Spalte der Schritttabelle — die Abweichungen müssen zusammen null ergeben (−8 − 6 + 5 + 5 − 2 + 5 + 3 − 2 = 0 bei den Voreinstellungswerten). Das ist die einzige Selbstkontrolle im ganzen Rechenweg, die einen falschen Mittelwert erwischt, bevor er in die Quadrate wandert.
Nenne die Standardabweichung nie ohne ihren Mittelwert — 5,23723 neben einem Mittelwert von 18 heißt etwas anderes als neben einem Mittelwert von 1.800. Berichte die beiden zusammen, etwa als 18 ± 5,24, oder stelle den Variationskoeffizienten daneben. Wie das Paar in einer Hausarbeit notiert wird, steht weiter unten unter den häufigen Fragen.
Vergleiche über Einheiten hinweg mit dem Variationskoeffizienten — er ist die Standardabweichung in Prozent des Mittelwerts, 29,1 % bei den acht Beispielwerten gegenüber 34 % bei den fünf Laborwerten. Zwei in verschiedenen Einheiten gemessene Reihen lassen sich so vergleichen, ihre rohen Standardabweichungen nicht. Ab wann ein Wert hoch ist, entscheidet das Fach, nicht die Statistik.
Gleiche die Basis mit der Tabelle ab, bevor du Zahlen vergleichst — steht in der Datei einer Kollegin 4,89898 und hier 5,23723, ist der Unterschied der Divisor und kein Fehler. Die Zeile unter den Karten nennt STABW.S oder STABW.N genau dafür.
Behalte den Standardfehler für Aussagen über den Mittelwert — s ÷ √n sind hier 1,85164, und diese Zahl schrumpft mit jeder weiteren Messung, während die Standardabweichung es nicht tut. Fehlerbalken um einen Mittelwert nutzen den Standardfehler; eine Aussage darüber, wie weit die Einzelwerte streuen, die Standardabweichung.
Wechsle zum Varianz-Rechner, wenn der nächste Schritt quadrierte Einheiten braucht — Varianzanalyse, Fehlerfortpflanzung und das Addieren von Varianzen unabhängiger Größen rechnen alle in quadrierten Einheiten. Am Fuß des Rechners steht der Link dorthin; die Schwesterseite stellt die Varianz auf die Karte und die Standardabweichung darunter.

Was dieser Rechner nicht macht

Die Seite ist beschreibend. Sie berichtet, was deine Zahlen tun, und behauptet nichts über den Prozess, der sie erzeugt hat: kein Signifikanztest, kein Konfidenzintervall, keine Prüfung auf Normalverteilung, keine Verteilungsanpassung und kein Diagramm. Die 68-95-99,7-Regel, mit der aus einer Standardabweichung ein Anteil der Daten wird, setzt annähernde Normalverteilung voraus — ob deine Daten diese Bedingung erfüllen, prüft hier nichts.

Modalwert und Quartile fehlen ebenfalls. Vorhanden sind neben den beiden Standardabweichungen und den beiden Varianzen der Mittelwert, die Anzahl, die Summe, die Summe der Abweichungsquadrate, der Median, das Minimum, das Maximum, die Spannweite, der Standardfehler des Mittelwerts und der Variationskoeffizient.

Das Feld nimmt 5.000 Zeichen. Die Schritt-für-Schritt-Tabelle listet die ersten 30 Werte auf und nennt in der Bildunterschrift die Gesamtzahl, aus der sie stammen — die Summenzeile umfasst weiterhin alle Werte, die Summe der Abweichungsquadrate ist also auch dann vollständig, wenn die Tabelle es nicht ist.

„Existiert nicht“ wird als eigene Antwort behandelt, nicht als Null. Ein einzelner Wert auf Stichprobenbasis zeigt für Standardabweichung und Varianz einen Gedankenstrich, dazu die Zeile „Eine Standardabweichung der Stichprobe braucht mindestens zwei Werte“, während die Kennzahlen der Grundgesamtheit 0 anzeigen — richtig, denn ein einzelner Wert streut nicht, und einen Divisor n − 1 gibt es hier nicht. Bei einem Mittelwert von genau null steht beim Variationskoeffizienten ein Strich und darunter der Grund, weil eine Division durch null keine Bedeutung hat.

Häufige Fragen zur Standardabweichung

Stichprobe oder Grundgesamtheit — was nehme ich?

Die Stichprobe, wenn deine Zahlen ein Ausschnitt einer größeren Menge sind, die Grundgesamtheit, wenn sie die vollständige Menge sind. Hätte jemand mehr vom selben messen können, ist es eine Stichprobe — und das ist die Basis, mit der diese Seite startet.

Warum durch n − 1 und nicht durch n?

Weil der Mittelwert, den du abziehst, aus der Stichprobe selbst stammt. Ihre Werte liegen näher an diesem eigenen Mittelwert als am unbekannten Mittelwert der Grundgesamtheit, deshalb würde ein Divisor n die Streuung zu klein ausweisen. Der Divisor n − 1 nimmt diese Verzerrung heraus; das ist die Bessel-Korrektur.

Welche Excel-Funktion entspricht diesem Rechner?

Im deutschen Excel STABW.S auf Stichprobenbasis und STABW.N für die Grundgesamtheit; die Zeile unter den Karten nennt jeweils die passende. Die älteren Namen STABW und STABWN rechnen dieselben beiden Zahlen, und Microsoft führt sie ausdrücklich nur noch aus Kompatibilitätsgründen: Die alte Funktion werde „in zukünftigen Versionen von Excel möglicherweise nicht mehr verfügbar sein“. In englischsprachigen Anleitungen heißen die beiden STDEV.S und STDEV.P.

Warum zeigt meine Tabelle eine andere Standardabweichung als dieser Rechner?

Zwei Ursachen decken fast alle Fälle ab. Die erste ist die Basis: STABW.N teilt durch n und STABW.S durch n − 1, was bei den acht Beispielwerten den Abstand zwischen 4,89898 und 5,23723 ausmacht. Die zweite ist, was das jeweilige Werkzeug übergeht. Microsoft dokumentiert für STABW.S, dass in einem Bezug nur Zellen mit Zahlen zählen: „Leere Zellen, Wahrheitswerte, Texte oder Fehlerwerte werden ignoriert“ — sichtbar wird das in der Tabelle nicht. Diese Seite nennt jeden Eintrag, den sie nicht lesen konnte, namentlich unter den Ergebnissen.

Meine Zahlen haben ein Komma als Dezimaltrennzeichen. Kann der Rechner das lesen?

Ja, und für diese Seite ist es voreingestellt. Im Komma-Modus ist das Komma ein Dezimalzeichen und trennt nicht mehr; getrennt wird durch Semikolon, Leerzeichen, Tabulator und Zeilenumbruch, und ein Punkt gilt als Tausenderpunkt, sodass 1.234,5 ein einziger Wert ist. Eine Spalte aus einer deutschen Tabelle oder CSV-Datei lässt sich damit unverändert einfügen. Dieselbe Zeile 1,5 2,7 3,1 ergibt in diesem Modus drei Werte, im Punkt-Modus sechs.

Was ist der Unterschied zwischen s und σ?

s ist die Standardabweichung einer Stichprobe mit dem Divisor n − 1, σ die einer vollständigen Grundgesamtheit mit dem Divisor n. Im deutschen Excel entsprechen ihnen STABW.S und STABW.N. Der Rechner zeigt immer beide Zahlen, unabhängig davon, welche Basis du wählst — der Unterschied bei den acht Beispielwerten sind 5,23723 gegen 4,89898.

Ist eine Standardabweichung von 5,23723 hoch oder niedrig?

Weder noch, solange sie nicht am Mittelwert gemessen wird. Bei einem Mittelwert von 18 sind es 29,1 % des Durchschnittswerts — das meldet der Variationskoeffizient. Neben einem Mittelwert von 1.800 wäre dieselbe Zahl ein Rundungsfehler. Vergleiche den Variationskoeffizienten zwischen deinen eigenen Datenreihen oder mit einem Richtwert aus deinem Fach, statt die rohe Zahl zu bewerten.

Was ist der Unterschied zwischen empirischer und korrigierter Varianz?

Das ist eine Benennungsfrage, keine Rechenfrage. Der Wikipedia-Artikel „Empirische Varianz“ hält fest, dass manche Autoren „empirische Varianz“ nur für die unkorrigierte Form mit dem Divisor n benutzen und „Stichprobenvarianz“ für die korrigierte mit n − 1, während andere Texte es umgekehrt oder gemischt handhaben. Verlass dich deshalb auf den Divisor, nicht auf den Namen: Der Kennzahlenblock zeigt 27,4286 mit n − 1 und 24 mit n, sodass du die im Skript gemeinte Zahl direkt ablesen kannst.

Wie gebe ich Mittelwert und Standardabweichung in einer Hausarbeit an?

Beide zusammen, nie einzeln, und im deutschen Fließtext mit Komma als Dezimalzeichen. Scribbr nennt dafür die Form „M = 176,2; SD = 13,5“ und den Beispielsatz „Die durchschnittliche Größe der Frauen war 166,3 cm (SD = 10,1)“, wobei M und SD kursiv gesetzt werden. Nach APA werden bei Dezimalzahlen Punkte statt Kommas gesetzt; welche Fassung deine Hochschule verlangt, klärst du am besten vorab.

Was ist die Standardabweichung eines einzigen Werts?

Bei der Grundgesamtheit ist sie 0 — ein einzelner Wert streut nicht. Als Stichprobe existiert sie nicht, weil der Divisor n − 1 dann null wäre. Der Rechner zeigt deshalb 0 und einen Gedankenstrich, statt beides gleich zu behandeln.

Ist der Standardfehler dasselbe wie die Standardabweichung?

Nein. Der Standardfehler des Mittelwerts ist die Standardabweichung der Stichprobe geteilt durch √n — bei den acht Beispielwerten 1,85164 gegenüber 5,23723. Die Standardabweichung beschreibt die Streuung der Einzelwerte, der Standardfehler die Genauigkeit ihres Mittelwerts, und er wird mit jeder weiteren Messung kleiner.

Wie genau rechnet dieser Rechner?

Er geht zweimal über die Daten — erst der Mittelwert, dann die quadrierten Abstände dazu — statt die einzeilige Abkürzung Σx² − (Σx)²/n zu nehmen. An den zertifizierten Referenzdaten des NIST ist der Unterschied messbar. Bei NumAcc1, dessen zertifizierte Standardabweichung exakt 1 beträgt, liefern beide Wege exakt 1. Bei NumAcc2 liegt die Abkürzung rund vier Größenordnungen weiter von der zertifizierten 0,1 entfernt. Bei NumAcc4 wird ihre Differenz negativ, sodass die Wurzel daraus überhaupt keine Zahl mehr ergibt, während der Zwei-Durchgang-Weg die zertifizierte 0,1 auf acht signifikante Stellen trifft.

Wie viele Werte kann ich auf einmal einfügen?

Das Feld nimmt 5.000 Zeichen, also einige hundert Zahlen aus einer Tabellenspalte. Jeder Wert zählt in die Kennzahlen. Die Schritt-für-Schritt-Tabelle zeigt die ersten 30 Zeilen und nennt die Gesamtzahl, aus der sie stammen; ihre Summenzeile ist die Summe der Abweichungsquadrate über die gesamte Datenreihe, nicht über die angezeigten Zeilen.

Warum steht beim Variationskoeffizienten ein Strich?

Weil der Mittelwert deiner Daten exakt null ist, was immer dann vorkommt, wenn sich die Werte um null ausgleichen, und der Variationskoeffizient durch den Mittelwert teilt. Der Rechner schreibt den Grund unter die Zahl. Alle übrigen Kennzahlen der Seite gelten unverändert.

Ist dieser Standardabweichungsrechner kostenlos?

Ja. Er läuft in jedem Browser auf Handy, Tablet und Rechner, es gibt nichts zu installieren und keine Obergrenze für die Zahl der Datenreihen. Die Kennzahlen rechnen sich beim Tippen und Einfügen neu, sodass ein Wechsel der Basis oder des Dezimaltrennzeichens sofort alle Karten und die Schritttabelle aktualisiert.

Quellen und Referenzen

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