Varianz-Rechner

Datensatz einfügen und Varianz für Stichprobe und Grundgesamtheit erhalten — mit der Summe der Abweichungsquadrate, dem jeweiligen Divisor und der Standardabweichung, die nur eine Wurzel entfernt ist.

Dein Datensatz

Werte mit Semikolon, Leerzeichen oder Zeilenumbruch trennen — hier ist das Komma das Dezimaltrennzeichen.

Stichprobe (n − 1) Grundgesamtheit (n)

1.5 1,5

Varianz der Stichprobe (s²)

27,4286

Standardabweichung der Stichprobe (s): 5,23723

Varianz der Grundgesamtheit (σ²)

24

Summe der Abweichungsquadrate (SS)

192

Divisor

7

Die Zahlen werden als Stichprobe gelesen. Dieselbe Kennzahl in Excel: VAR.S.

Alle Kennzahlen dieses Datensatzes

Standardabweichung der Stichprobe (s)

5,23723

Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ)

4,89898

Summe

144

Median

18,5

Minimum

Maximum

Spannweite

Standardfehler des Mittelwerts

1,85164

Variationskoeffizient

29,1 %

Schritt für Schritt: die Summe der Abweichungsquadrate

Wert (xᵢ)	xᵢ − x̄	(xᵢ − x̄)²
10	-8	64
12	-6	36
23	+5	25
23	+5	25
16	-2	4
23	+5	25
21	+3	9
16	-2	4
Summe	0	192

Der Divisor ist 7, also Varianz der Stichprobe (s²) = 192 ÷ 7 = 27,4286. Deren Quadratwurzel, 5,23723, ist die Standardabweichung.

Die Streuung wieder in den ursprünglichen Einheiten? Zum Standardabweichungs-Rechner.

Varianz berechnen: s² für die Stichprobe, σ² für die Grundgesamtheit.

Die Varianz ist die Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert, geteilt durch n − 1 bei einer Stichprobe oder durch n bei einer Grundgesamtheit. Der Rechner liest deine eingefügten Zahlen auf beiden Basen, stellt die Summe der Abweichungsquadrate und den Divisor auf eigene Karten und nennt die passende Excel-Funktion.

Was die Varianz misst — und warum sie in quadrierten Einheiten steht

Die Varianz ist die Summe der quadrierten Abstände zwischen den Werten einer Datenreihe und ihrem Mittelwert, geteilt durch die Anzahl dieser Werte oder durch eins weniger. Das Quadrieren ist zugleich ihr größtes Problem: Der Wikipedia-Artikel „Varianz (Stochastik)“ hält fest, dass sie „immer in Quadrateinheiten angegeben“ wird, und nennt das ausdrücklich problematisch, weil solche Einheiten „keine sinnvolle Interpretation bieten“. Acht Gewichte in Kilogramm ergeben eine Varianz in Kilogramm², acht Preise eine in Euro². Deshalb wird die Wurzel so selbstverständlich gezogen, dass die Varianz in vielen Skripten nur als Zwischenschritt auftaucht — hier ist sie die Antwort, und die Wurzel steht klein unter der Hauptkarte.

Damit die Rechnung nicht abstrakt bleibt, liegen acht Werte schon im Feld: 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16. Sie summieren sich zu 144, was bei acht Zahlen einen Mittelwert von 18 ergibt. Jeder Abstand zu diesen 18 — −8, −6, +5, +5, −2, +5, +3, −2 — quadriert und aufaddiert ergibt 192, und diese Zahl bekommt die dritte Karte: Summe der Abweichungsquadrate (SS) = 192. Die vierte Karte trägt den Divisor. Auf Stichprobenbasis steht dort 7, und 192 ÷ 7 = 27,4286 ist die Varianz der Stichprobe (s²). Ein Klick auf „Grundgesamtheit (n)“ macht daraus den Divisor 8 und 192 ÷ 8 = 24.

Die Form der Grundgesamtheit ist der wörtliche Durchschnitt dieser quadrierten Abstände. Die Stichprobenform ist es nicht, und das ist Absicht: Durch 7 statt durch 8 zu teilen macht die Antwort größer, weil der abgezogene Mittelwert aus der Stichprobe selbst stammt. Eine Stichprobe schmiegt sich enger an ihren eigenen Mittelwert als an den unbekannten der Grundgesamtheit, ein Divisor n würde diese Verzerrung übernehmen und die Streuung zu klein ausweisen. Das ist die Bessel-Korrektur — und weil sie hier der einzige Unterschied zwischen zwei richtigen Antworten ist, bekommt der Divisor auf dieser Seite eine eigene Karte, statt in einer Formel zu verschwinden.

Beide Zahlen stehen nebeneinander, egal welche Basis du wählst, und die Zeile unter den Karten nennt die passende Tabellenfunktion: „Die Zahlen werden als Stichprobe gelesen. Dieselbe Kennzahl in Excel: VAR.S.“ Microsoft knüpft dieselbe Bedingung an dieselbe Funktion — VAR.S „schätzt die Varianz ausgehend von einer Stichprobe“ und „geht davon aus, dass die ihr übergebenen Argumente eine Stichprobe der Grundgesamtheit darstellen“; wer die vollständige Menge vor sich hat, wird weitergeschickt: „Entsprechen die als Argumente übergebenen Daten dagegen einer Grundgesamtheit, sollte die zugehörige Varianz mithilfe der Funktion VAR.P berechnet werden.“ Ab zwei Werten gilt außerdem dasselbe Größenverhältnis: s² übertrifft σ², weil der kleinere Divisor den größeren Quotienten liefert. Die einzige Ausnahme ist eine Reihe aus lauter identischen Werten, wo schon die Summe der Abweichungsquadrate null ist und beide Zahlen null lauten.

Die Formel — und der Verschiebungssatz, den sie bewusst nicht benutzt

s^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2}{n - 1}

$s^2$ = Varianz der Stichprobe — die Hauptkarte auf Stichprobenbasis, in den quadrierten Einheiten deiner Daten
$\sigma^2$ = Varianz der Grundgesamtheit — derselbe Zähler, geteilt durch n statt durch n − 1
$SS$ = Summe der Abweichungsquadrate: alle quadrierten Abstände zum Mittelwert, aufaddiert — die dritte Karte
$x_i$ = Der i-te Wert der Datenreihe
$\bar{x}$ = Der Mittelwert: die Summe der Werte geteilt durch ihre Anzahl
$n$ = Die Anzahl der Werte in der Datenreihe
$n - 1$ = Der Divisor auf Stichprobenbasis — die vierte Karte, zugleich die Zahl der Freiheitsgrade

Die Form für die Grundgesamtheit ändert den Divisor und sonst nichts:

\sigma^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2}{n}

Beide teilen denselben Zähler, und der trägt hier einen eigenen Namen und eine eigene Karte:

SS = \sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2

Für die acht Werte oben ist SS gleich 192, also 192 ÷ 7 = 27,4286 auf Stichprobenbasis und 192 ÷ 8 = 24 auf Basis der Grundgesamtheit. Genau diese Kette schreibt der Rechner unter die Tabelle: „Der Divisor ist 7, also Varianz der Stichprobe (s²) = 192 ÷ 7 = 27,4286. Deren Quadratwurzel, 5,23723, ist die Standardabweichung.“ Wer diese Wurzel zieht, hat die Seite verlassen und steht beim Standardabweichungs-Rechner.

Wie viel das n − 1 ausmacht, hängt allein an n: Bei zwei Werten ist die Stichprobenvarianz doppelt so groß wie die der Grundgesamtheit, bei den acht Beispielwerten um 14,3 % größer, bei hundert Werten um rund 1 %. Bei kleinen Datenmengen ist die Wahl des Divisors also eine Entscheidung mit Folgen, bei großen eine Formsache; falsch gewählt bleibt sie in beiden Fällen falsch.

Deutsche Lehrtexte führen daneben den Verschiebungssatz als „praktische“ Formel, weil er den Mittelwert nicht von jedem einzelnen Wert abziehen muss — Studyflix etwa widmet ihm im Artikel zum Varianzberechnen einen eigenen Abschnitt:

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - \bar{x}^2

Auf Papier ist er dieselbe Zahl und spart einen Durchgang durch die Daten. Im Rechner ist er es nicht. Der Wikipedia-Artikel zum Verschiebungssatz warnt, dass es „bei der Berechnung mit Gleitkommazahlen … jedoch zu einer numerischen Auslöschung kommen“ kann, „wenn x̄² erheblich größer ist als die Varianz“ — zwei fast gleich große Zahlen werden voneinander abgezogen und die gesuchte Differenz fällt unter die Rundung. Diese Seite rechnet deshalb in zwei Durchgängen: erst der Mittelwert, dann die quadrierten Abstände dazu, so wie es die Schritttabelle zeigt.

Wie dein Skript die beiden Varianzen nennt

Bezeichnung in deutschen Lehrtexten	Divisor	Deutsches Excel	Karte auf dieser Seite
empirische Varianz, unkorrigiert (s̃²)	n	VAR.P	Varianz der Grundgesamtheit (σ²) = 24
korrigierte empirische Varianz (s²)	n − 1	VAR.S	Varianz der Stichprobe (s²) = 27,4286
korrigierte Stichprobenvarianz (s²)	n − 1	VAR.S	Varianz der Stichprobe (s²) = 27,4286
Varianz der Grundgesamtheit, Populationsvarianz (σ²)	n	VAR.P	Varianz der Grundgesamtheit (σ²) = 24
mittleres Abweichungsquadrat der Varianzanalyse (MQ)	Freiheitsgrade der Quelle	k. A.	dieselbe Rechnung: Karte 3 ÷ Karte 4
alter Excel-Name, nur aus Kompatibilität	n − 1 bzw. n	VARIANZ, VARIANZEN	beide Varianzkarten

Varianz von Hand berechnen — fünf Schritte, und der fünfte ist der letzte

Die Tabelle unter den Ergebnissen legt die Schritte 2 bis 4 in genau den Spalten aus, die ein deutsches Übungsblatt sehen will. Hier durchgerechnet an den acht Werten, mit denen die Seite startet.

1. Den Mittelwert bilden: 10 + 12 + 23 + 23 + 16 + 23 + 21 + 16 ergibt 144, geteilt durch 8 also 18.

2. Die Abstände zu diesen 18 notieren: −8, −6, +5, +5, −2, +5, +3, −2. Diese Spalte einmal aufaddieren, bevor es weitergeht — sie muss null ergeben: −8 − 6 + 5 + 5 − 2 + 5 + 3 − 2 = 0. Kommt etwas anderes heraus, stimmt der Mittelwert nicht, und jeder folgende Schritt vererbt den Fehler weiter.

3. Die Abstände quadrieren: 64, 36, 25, 25, 4, 25, 9, 4. Das Quadrieren verhindert das gegenseitige Aufheben — und erzeugt genau dabei die quadrierten Einheiten.

4. Alles aufaddieren: 192. Diese Zahl trägt auf dem Bildschirm die dritte Karte und in der Schritt-für-Schritt-Tabelle die Zeile „Summe“.

5. Durch den Divisor teilen. Für eine Stichprobe 192 ÷ 7 = 27,4286, für eine Grundgesamtheit 192 ÷ 8 = 24. Hier endet die Rechnung: Wer jetzt noch die Wurzel zieht, hat die Standardabweichung berechnet und nicht die Varianz.

Die drei Spalten heißen Wert (xᵢ), xᵢ − x̄ und (xᵢ − x̄)², die letzte Zeile trägt die 192. Ab 31 Werten zeigt die Tabelle nur den Anfang und schreibt in die Bildunterschrift, aus wie vielen Werten insgesamt sie stammt; gerechnet wird die Summenzeile trotzdem über alle.

Wann du die Varianz brauchst und nicht ihre Wurzel

Für einen Satz Fließtext ist fast immer die Standardabweichung die richtige Zahl, weil sie in der Einheit der Daten steht. Die Varianz gewinnt in dem Moment, in dem als Nächstes gerechnet und nicht formuliert wird — und in den folgenden Fällen macht das Einsetzen der Wurzel die Rechnung schlicht falsch.

Varianzen unabhängiger Größen addieren sich, Standardabweichungen nicht. Der deutsche Name dafür ist die Gleichung von Bienaymé, benannt nach Irénée-Jules Bienaymé, der sie 1853 zeigte: Die Varianz einer Summe unkorrelierter Zufallsvariablen ist die Summe ihrer Varianzen, Var(ΣXᵢ) = ΣVar(Xᵢ). Sind die Größen korreliert, kommen Kovarianzterme hinzu. Zwei unabhängige Teile, die sich beide wie die acht Beispielwerte verhalten, haben zusammen also die Varianz 27,4286 + 27,4286 = 54,8572 und die Standardabweichung 7,40656. Wer stattdessen 5,23723 + 5,23723 = 10,47446 rechnet, liegt um den Faktor √2 und damit gut 41 % zu hoch.

Die Varianzanalyse verlässt die quadrierten Einheiten überhaupt nie. Sie zerlegt die gesamte Quadratsumme in einen Teil, der auf die Gruppenzugehörigkeit entfällt, und einen Rest — SQT = SQA + SQR — und teilt jeden Teil durch seine eigenen Freiheitsgrade, etwa MQA = SQA ÷ (k − 1). Der deutsche Name des Ergebnisses ist aus genau den Bausteinen gebaut, die auf den Karten 3 und 4 dieser Seite stehen: mittlere Abweichungsquadrate — die Abweichungsquadrate von Karte 3, gemittelt über den Divisor von Karte 4. Wikipedia merkt dazu an, sie würden „oft fälschlicherweise mittlere Quadratsummen genannt“. Minitabs deutsche Dokumentation beschreibt denselben Unterschied für die ANOVA-Tabelle: „Im Unterschied zur korrigierten Summe der Quadrate werden beim korrigierten Mittel der Quadrate die Freiheitsgrade berücksichtigt.“ Eine Standardabweichung taucht in dieser ganzen Kette nicht auf.

Messunsicherheiten werden ebenfalls quadratisch zusammengefasst. Das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz gewichtet jede Eingangsunsicherheit mit dem Quadrat einer partiellen Ableitung und zieht erst am Ende die Wurzel; für unabhängige Größen „fallen die Korrelationsterme weg“, und bei einer reinen Summe oder Differenz bleibt nur noch die Addition der quadrierten Einzelunsicherheiten übrig, u₁² + u₂² + u₃². Nur in diesem linearen Sonderfall gilt auch die Faustregel, dass das Addieren der Einzelunsicherheiten das Ergebnis zu groß macht; sobald Ableitungen ungleich 1 im Spiel sind, kann es genauso gut zu klein herauskommen.

Und schließlich das Umskalieren: Var(aX + b) = a²Var(X). Additive Konstanten verschieben die Varianz nicht, multiplikative wirken quadratisch — dieselbe Messreihe in Zentimetern statt in Metern hat die 10.000-fache Varianz, ohne dass sich an den Daten etwas geändert hätte. Genau dieses Quadrat macht Varianzkomponenten möglich: Eine Gesamtvarianz lässt sich in benannte Anteile zerlegen und als Prozentsätze berichten, weil sich die Teile addieren. Dieselben Prozentsätze aus Standardabweichungen ergäben in der Summe nicht wieder das Ganze.

Die vier Karten — und warum hier weder Mittelwert noch Anzahl steht

Die Hauptkarte trägt die Varianz der gewählten Basis, beschriftet als Varianz der Stichprobe (s²) oder Varianz der Grundgesamtheit (σ²), und darunter klein die passende Standardabweichung. Die zweite Karte zeigt dieselben Daten auf der anderen Basis, sodass beide Antworten sichtbar sind, ohne dass du etwas umschaltest. Die dritte Karte ist die Summe der Abweichungsquadrate, die vierte der Divisor — das Paar, das eine korrigierte Übung sehen will, weil sich aus 192 und 7 jede der vier Zahlen dieser Seite rekonstruieren lässt.

Mittelwert und Anzahl bekommen hier keine Karte; die beiden führen die Schwesterseite an. Der Mittelwert lässt sich aus der mittleren Spalte der Schritttabelle zurückrechnen — Wert minus Abweichung —, und die Anzahl steckt im Divisor: auf Basis der Grundgesamtheit ist er n, auf Stichprobenbasis n − 1, also eins mehr. Bei Reihen über 30 Werten nennt zusätzlich die Bildunterschrift der Tabelle die Gesamtzahl.

Das Datenfeld schluckt eine komplette Tabellenspalte, 5.000 Zeichen weit, und behandelt jeden Zeilenumbruch als Trennzeichen. Aus Excel, LibreOffice Calc, Google Tabellen oder einer CSV-Datei kopierte Spalten brauchen deshalb keine Vorbereitung. Zwei Schalter liegen darunter: die Basis, die bestimmt, welche Varianz die Hauptkarte bekommt und welche Excel-Funktion genannt wird, und das Dezimaltrennzeichen mit den Beschriftungen 1.5 und 1,5.

1. Voreingestellt ist für diese Seite 1,5. Das Komma ist dann ein Dezimalzeichen und trennt nicht; getrennt wird durch Semikolon, Leerzeichen, Tabulator und Zeilenumbruch, und der Punkt gilt als Tausenderpunkt, sodass 1.234,5 ein einziger Wert ist.

2. Mit 1.5 trennt zusätzlich das Komma, und eine Tausendergruppierung wird nicht erkannt: Aus 1,234.5 werden zwei Werte, 1 und 234,5.

Ein Minuszeichen vor der Zahl bleibt erhalten, und 1,5e3 ergibt im Komma-Modus 1500. Was sich nicht als Zahl lesen lässt, verschwindet nicht heimlich: Die ersten fünf solcher Einträge erscheinen namentlich unter den Ergebnissen, hinter der Zeile „Diese Einträge sind keine Zahlen und wurden ausgelassen“. Eine mitkopierte Spaltenüberschrift steht damit als Text auf dem Bildschirm, statt sich unbemerkt im Divisor niederzuschlagen.

Durchgerechnete Beispiele

Die acht Werte, mit denen die Seite startet

Die Reihe 10; 12; 23; 23; 16; 23; 21; 16 ergibt auf Stichprobenbasis eine Varianz der Stichprobe von 27,4286, mit der Standardabweichung 5,23723 in der Zeile darunter und der Varianz der Grundgesamtheit 24 auf der Karte daneben. Die Summe der Abweichungsquadrate ist 192, der Divisor 7. Der Kennzahlenblock ergänzt den Rest: Standardabweichung der Stichprobe 5,23723, Standardabweichung der Grundgesamtheit 4,89898, Summe 144, Median 18,5, Minimum 10, Maximum 23, Spannweite 13, Standardfehler des Mittelwerts 1,85164 und Variationskoeffizient 29,1 %. Ein Klick auf „Grundgesamtheit (n)“ schiebt die 24 nach vorn, lässt die 192 unberührt, ändert die Divisor-Karte von 7 auf 8 und benennt die Funktion in VAR.P um. Nur der Divisor bewegt sich — an den Daten hat sich nichts geändert, nur die Frage.

Zehnmal so große Zahlen, hundertmal so große Varianz

Fünf Laborwerte aus einer englischsprachigen Vorlage, 2.5, 3.1, 4.8, 5.2, 6.0, im voreingestellten Komma-Modus eingefügt: Der Punkt gilt hier als Tausenderpunkt, aus 2.5 wird also 25. Die Karten zeigen Varianz der Stichprobe 215,7, Varianz der Grundgesamtheit 172,56, Summe der Abweichungsquadrate 862,8 und Divisor 4, dazu die Standardabweichungen 14,6867 und 13,1362, Summe 216, Median 48, Minimum 25, Maximum 60, Spannweite 35, Standardfehler 6,5681 und Variationskoeffizient 34 %. Auf dem Dezimaltrennzeichen 1.5 liest derselbe Text 2,5 bis 6 und die Varianz der Stichprobe ist 2,157. Der Abstand zwischen 2,157 und 215,7 ist exakt der Faktor 100, während die Standardabweichung nur um den Faktor 10 wandert, von 1,46867 auf 14,6867 — Var(aX) = a²Var(X) in einer einzigen Umschaltung. Genau deshalb sagt der Vergleich zweier roher Varianzen nichts, solange die Einheit nicht dieselbe ist.

Zwei unabhängige Teile: warum sich Varianzen addieren und Standardabweichungen nicht

Angenommen, ein fertiges Bauteil ist die Summe zweier unabhängiger Einzelteile, und jedes streut wie die acht Beispielwerte: Varianz der Stichprobe 27,4286, Standardabweichung 5,23723. Nach der Gleichung von Bienaymé ist die Varianz der Summe 27,4286 + 27,4286 = 54,8572, und erst deren Wurzel, 7,40656, ist die Standardabweichung der Toleranzkette. Wer die beiden Standardabweichungen addiert, erhält 10,47446 und damit gut 41 % zu viel, weil diese Rechnung unterstellt, dass beide Teile immer in dieselbe Richtung danebenliegen. Das ist der Grund, die Varianz aufzuheben statt sofort die Wurzel zu ziehen: Addiert wird in quadrierten Einheiten, gewurzelt einmal ganz am Schluss. Schick jedes Teil einzeln durch diesen Rechner, addiere die beiden Hauptkarten, und zieh die Wurzel erst danach.

Ein einziger Wert — hier wird der Divisor null

Steht nur 42 im Feld und die Basis auf Stichprobe, zeigt die Hauptkarte einen Gedankenstrich, die Divisor-Karte eine 0, und darunter erscheint die Zeile: „Eine Varianz der Stichprobe braucht mindestens zwei Werte. Bei einem einzigen Wert existieren nur die Kennzahlen der Grundgesamtheit.“ Die Karte daneben meldet die Varianz der Grundgesamtheit als 0, die Summe der Abweichungsquadrate ebenfalls als 0, und im Kennzahlenblock stehen Standardabweichung der Grundgesamtheit 0, Summe 42, Median 42, Minimum 42, Maximum 42 und Spannweite 0, während Standardabweichung der Stichprobe, Standardfehler und Variationskoeffizient Gedankenstriche zeigen. Der Unterschied ist inhaltlich: 0 heißt gemessen und ohne Streuung, der Strich heißt, dass es die Größe nicht gibt, weil n − 1 null ist und durch null nichts geteilt wird.

Fehler, die das Ergebnis verändern

Die Varianz in der Einheit der Daten berichten — 27,4286 aus Kilogrammwerten sind 27,4286 kg², nicht 27,4 kg. Die beiden Zahlen unterscheiden sich um den Faktor der Standardabweichung selbst, hier also um das 5,23723-Fache; bei einer Reihe mit einer Streuung unter 1 wäre die falsch beschriftete Zahl umgekehrt zu klein. Wer eine Einheit braucht, die sich jemand vorstellen kann, braucht die Wurzel.
Bei der Summe der Abweichungsquadrate stehen bleiben — 192 ist noch keine Varianz, sondern der Zähler. Erst das Teilen durch 7 oder 8 macht daraus eine Kennzahl, die von der Größe der Datenmenge unabhängig ist. Eine ungeteilte Quadratsumme wächst mit jedem weiteren Wert, auch wenn die Streuung gleich bleibt.
Die Divisor-Karte als Anzahl lesen — auf Stichprobenbasis steht dort n − 1, eine 7 bedeutet also acht eingelesene Werte. Rechne eins dazu, oder schalte auf die Grundgesamtheit, wo der Divisor genau n ist. Das ist zugleich die schnellste Kontrolle, ob dein Einfügen so getrennt wurde, wie du es gemeint hast.
Standardabweichungen addieren, wo sich die Varianzen addieren — für zwei unabhängige Größen ist 5,23723 + 5,23723 = 10,47446 falsch und √(27,4286 + 27,4286) = 7,40656 richtig. Die Abkürzung schätzt die gemeinsame Streuung immer zu hoch ein, und zwar umso stärker, je ähnlicher die beiden Streuungen sind.
Rohe Varianzen über verschiedene Einheiten hinweg vergleichen — die Varianz skaliert mit dem Quadrat der Einheit, dieselben Messwerte in Zentimetern tragen die 10.000-fache Varianz wie in Metern. Vergleichbar sind erst die Variationskoeffizienten, 29,1 % gegen 34 % bei den beiden Beispielreihen, oder zwei Reihen in derselben Einheit.
Die Basis aus Gewohnheit wählen — VAR.P ist nur dann exakt, wenn im Feld die vollständige Menge steht. Für einen Ausschnitt weist sie die Streuung zu niedrig aus: 24 gegen 27,4286 bei denselben acht Werten. Solange sich noch mehr vom selben messen ließe, liegt eine Stichprobe auf dem Tisch und VAR.S ist die richtige Funktion.
Den Verschiebungssatz auf große, dicht beieinanderliegende Zahlen loslassen — auf Papier ist er identisch, im Gleitkommarechner nicht. Bei acht- oder neunstelligen Werten, die sich erst in der letzten Stelle unterscheiden, löscht die Subtraktion die gesuchte Differenz aus, und das Ergebnis kann sogar negativ werden. Für eine Handrechnung mit kleinen Zahlen bleibt er bequem.

So wird aus der Varianz eine belastbare Angabe

Nenne Quadratsumme und Divisor immer zusammen — mit 192 und 7 kann jede Leserin beide Varianzen und beide Standardabweichungen nachrechnen, ohne deine Daten zu haben. Genau dieses Paar verlangen auch eine korrigierte Übung und eine ANOVA-Tabelle.
Vertrau dem Divisor, nicht der Benennung — ob dein Skript „empirische Varianz“ für die Form mit n oder für die mit n − 1 verwendet, ist von Lehrtext zu Lehrtext verschieden. Auf dieser Seite stehen beide Zahlen gleichzeitig da, du liest also die gemeinte ab, statt sie aus dem Namen zu erraten.
Nenne beim Vergleich mit einer Tabelle immer die Basis mit — 24 in der Datei einer Kollegin und 27,4286 hier sind kein Widerspruch, sondern zwei Divisoren. Welcher davon gerade gilt, steht in der Zeile unter den Karten, zusammen mit VAR.S oder VAR.P.
Behalte die Varianz, solange gerechnet wird, und wechsle die Seite, sobald formuliert wird — Addieren, Gewichten, Zerlegen und Fortpflanzen passieren in quadrierten Einheiten; alles, was jemand sich vorstellen soll, gehört in die Originaleinheit. Am Fuß des Rechners steht der Link zum Standardabweichungs-Rechner für den zweiten Fall.
Für den Vergleich zweier Datenreihen taugt nur der Variationskoeffizient — 29,1 % bei den acht Beispielwerten, 34 % bei den fünf Laborwerten. Er setzt die Standardabweichung ins Verhältnis zum Mittelwert und ist deshalb einheitenfrei, während zwei Varianzen aus verschiedenen Einheiten überhaupt keine gemeinsame Skala haben. Welcher Wert als hoch gilt, legt dein Fachgebiet fest, nicht die Statistik.
Runde einmal, ganz am Ende — die Karten und der Kennzahlenblock zeigen sechs signifikante Stellen statt zwei Nachkommastellen, damit du selbst entscheidest, wo gerundet wird; nur der Variationskoeffizient erscheint als Prozentwert mit höchstens zwei Nachkommastellen. Wer schon die Abweichungen kürzt, schleppt den Fehler durch das Quadrieren und die Division mit.

Was dieser Rechner nicht macht

Dieser Rechner beschreibt und schließt nicht. Er sagt, wie weit deine Zahlen streuen, und nichts darüber, ob ein Unterschied zu einer anderen Reihe bedeutsam ist: kein Signifikanztest, kein Konfidenzintervall, keine Prüfung auf Normalverteilung, keine Verteilungsanpassung, kein Diagramm. Auch die Varianzanalyse selbst führt er nicht durch — er liefert die Quadratsumme und den Divisor, aus denen ein mittleres Abweichungsquadrat entsteht, nicht die Zerlegung in Gruppen.

Modalwert und Quartile fehlen. Neben den beiden Varianzen, der Summe der Abweichungsquadrate und dem Divisor stehen im Kennzahlenblock die Standardabweichung der Stichprobe, die Standardabweichung der Grundgesamtheit, die Summe, der Median, das Minimum, das Maximum, die Spannweite, der Standardfehler des Mittelwerts und der Variationskoeffizient. Mittelwert und Anzahl haben auf dieser Seite keine eigene Karte; sie führen die Schwesterseite an.

Für das Eingabefeld gilt eine Obergrenze von 5.000 Zeichen. Die Schritt-für-Schritt-Tabelle bricht nach 30 Zeilen ab und schreibt die Gesamtzahl der Werte in die Bildunterschrift; ihre Summenzeile bleibt davon unberührt, die Summe der Abweichungsquadrate gilt also für die ganze Reihe und nicht nur für die sichtbaren Zeilen.

„Existiert nicht“ und „null“ sind hier zwei verschiedene Antworten. Ein einzelner Wert auf Stichprobenbasis liefert einen Gedankenstrich, einen Divisor von 0 und die Zeile, dass dafür mindestens zwei Werte nötig sind; daneben steht die Varianz der Grundgesamtheit bei 0, was stimmt, weil ein einzelner Wert nicht streut. Nach demselben Prinzip erscheint beim Variationskoeffizienten ein Strich mit dem Grund darunter, sobald der Mittelwert exakt null ist — durch diesen Mittelwert lässt sich nicht teilen.

Häufige Fragen zur Varianz

Wird die Varianz durch n oder durch n − 1 geteilt?

Durch n − 1, sobald deine Zahlen ein Ausschnitt sind: 192 ÷ 7 = 27,4286. Durch n, wenn sie die vollständige Menge sind: 192 ÷ 8 = 24. Die Divisor-Karte zeigt jederzeit, welche der beiden Zahlen gerade vorn steht — und ließe sich mehr vom selben messen, ist es eine Stichprobe.

Mein Skript sagt „empirische Varianz“ — welche der beiden Zahlen ist gemeint?

Das lässt sich am Namen nicht entscheiden, nur am Divisor. Der Wikipedia-Artikel „Empirische Varianz“ hält fest, dass die Bezeichnung „von einigen Autoren nur für die unkorrigierte Varianz“ mit dem Divisor n verwendet wird und „Stichprobenvarianz“ dann für die korrigierte mit n − 1; er stellt außerdem klar, dass „weder die Benennungen noch die entsprechende Notation … in der Literatur einheitlich“ sind, und dass sich der Vorsatz „korrigiert“ auf den Faktor 1/(n − 1) bezieht, also auf die Bessel-Korrektur. Praktisch heißt das: Schau in der Formel deines Skripts nach, was unter dem Bruchstrich steht, und lies die passende Karte ab — 27,4286 mit n − 1, 24 mit n.

In welcher Einheit steht die Varianz?

In der quadrierten Einheit der Daten. Gewichte in Kilogramm ergeben eine Varianz in Kilogramm², Preise in Euro eine in Euro². Die Wurzel bringt die Zahl zurück in die Originaleinheit, und diese Wurzel ist die Standardabweichung.

Ist die Varianz dasselbe wie die Standardabweichung?

Nein. Die Varianz ist die Quadratsumme geteilt durch den Divisor, die Standardabweichung ist deren Wurzel — bei den acht Beispielwerten 27,4286 und 5,23723. Beide tragen dieselbe Information in verschiedenen Einheiten; die quadrierten Einheiten sind das, was sich weiterrechnen lässt.

Wie komme ich von der Standardabweichung zur Varianz?

Quadrieren, mehr ist es nicht: 5,23723² = 27,4286. Wichtig ist nur, dass beide dieselbe Basis haben — die Wurzel aus der Varianz der Stichprobe ist die Standardabweichung der Stichprobe, nicht die der Grundgesamtheit.

Kann eine Varianz negativ sein?

Nein. Sie ist eine Summe von Quadraten, geteilt durch eine positive Zahl, also null oder positiv. Null wird sie nur, wenn alle Werte identisch sind; dann ist schon die Summe der Abweichungsquadrate null.

Heißt die Funktion in Excel VAR.S oder VARIANZ?

Beide rechnen die Stichprobenvarianz, aktuell ist VAR.S. VARIANZ und VARIANZEN sind die alten deutschen Namen; Microsoft führt sie ausdrücklich nur noch aus Kompatibilitätsgründen und schreibt, dass „die alte Funktion in zukünftigen Versionen von Excel möglicherweise nicht mehr verfügbar sein wird“. VARIANZ ist durch VAR.S ersetzt, VARIANZEN durch VAR.P. Die Zeile unter den Ergebniskarten nennt immer die Funktion zur gerade gewählten Basis.

Addieren sich Varianzen?

Bei unabhängigen Größen ja: Die Varianz einer Summe ist die Summe der Varianzen, das ist die Gleichung von Bienaymé. Zwei unabhängige Teile mit je 27,4286 ergeben zusammen 54,8572, und erst deren Wurzel, 7,40656, ist die Standardabweichung des Ganzen. Standardabweichungen addieren sich nicht — 5,23723 + 5,23723 = 10,47446 liegt gut 41 % zu hoch. Sind die Größen korreliert, kommen zusätzlich Kovarianzterme hinzu.

Was mache ich mit der Summe der Abweichungsquadrate?

Sie ist die Zahl, die ein Übungsblatt sehen will, und zusammen mit dem Divisor erlaubt sie jedem, beide Varianzen nachzurechnen. Außerdem trägt sie weiter: Eine Varianzanalyse zerlegt die gesamte Quadratsumme in SQT = SQA + SQR und teilt jeden Teil durch seine Freiheitsgrade — das Ergebnis heißt im Deutschen mittleres Abweichungsquadrat und ist genau die Rechnung, die hier zwischen der dritten und der vierten Karte stattfindet.

Warum zeigt meine Tabellenkalkulation eine andere Varianz an?

Fast immer ist es die Basis oder etwas, das die Tabelle übergangen hat. VAR.P teilt durch n und VAR.S durch n − 1, bei den acht Beispielwerten also 24 gegen 27,4286. Für VAR.S hält Microsoft außerdem fest, was in einem Bezug unter den Tisch fällt: „Leere Zellen, Wahrheitswerte, Texte oder Fehlerwerte werden ignoriert.“ Auf dem Bildschirm sieht man davon nichts. Hier stehen stattdessen unter den Ergebnissen die ersten fünf ausgelassenen Einträge, und zwar mit Namen.

Wofür steht die Karte „Divisor“?

Für die Zahl, durch die die Summe der Abweichungsquadrate geteilt wird: n − 1 auf Stichprobenbasis, n auf Basis der Grundgesamtheit. Bei acht Werten also 7 oder 8. Sie ist zugleich die Zahl der Freiheitsgrade und der einzige Unterschied zwischen den beiden Varianzen auf dieser Seite.

Wie muss ich die Zahlen trennen, und wie viele passen hinein?

Das Feld nimmt 5.000 Zeichen, also einige hundert Werte aus einer Tabellenspalte. Für diese Seite ist das Komma als Dezimaltrennzeichen voreingestellt; getrennt wird dann durch Semikolon, Leerzeichen, Tabulator und Zeilenumbruch, und ein Punkt gilt als Tausenderpunkt, sodass 1.234,5 ein einziger Wert ist. Auf dem Dezimaltrennzeichen 1.5 trennt zusätzlich das Komma. Nach dem Einfügen lohnt ein Blick auf den Divisor: Er sollte auf Stichprobenbasis genau eins unter deiner Zeilenzahl liegen.

Warum rechnet diese Seite nicht mit dem Verschiebungssatz?

Weil er in Gleitkommaarithmetik zusammenbricht, wenn x̄² deutlich größer ist als die Varianz — die Wikipedia nennt das numerische Auslöschung. Messbar wird das an den zertifizierten Referenzdaten des NIST. Bei NumAcc1 liefern beide Wege exakt dieselbe Zahl. Bei NumAcc2 landet die Einpass-Form rund vier Größenordnungen weiter von der zertifizierten Standardabweichung 0,1 entfernt. Und bei NumAcc4 gibt sie eine Varianz von −2 aus, wo die zertifizierte 0,01 lautet: eine negative Varianz, die es nicht geben kann, und deren Wurzel gar keine Zahl mehr ist. Der Zwei-Durchgang-Weg dieser Seite trifft dort die zertifizierte Standardabweichung auf acht signifikante Stellen.

Was ist die Varianz eines einzigen Werts?

Auf Basis der Grundgesamtheit ist sie 0 — ein einzelner Wert hat keine Streuung. Auf Stichprobenbasis gibt es sie nicht, weil der Divisor dann null wäre; die Karte zeigt einen Gedankenstrich, und die Zeile darunter nennt zwei Werte als Minimum.

Ist dieser Varianz-Rechner kostenlos?

Ja. Er läuft ohne Installation in jedem Browser, auf Handy, Tablet und Rechner, und für die Zahl der Datenreihen gibt es keine Obergrenze. Gerechnet wird beim Tippen: Ein Wechsel der Basis oder des Dezimaltrennzeichens aktualisiert sofort alle vier Karten, den Kennzahlenblock und die Schritttabelle.

Quellen und Referenzen

Inhalt verifiziert vom Smart Calculators Team