정사각형 계산기

정사각형은 한 변, 넓이, 둘레, 대각선 중 하나만 알면 나머지가 모두 나옵니다. 풀이 과정을 한 줄씩 보여 주고, 입력한 수치 그대로 도형을 그립니다.

여기서 다루는 것은 정사각형 하나의 기하입니다. 수를 제곱하는 것(x²)도 아니고, 바닥 면적을 제곱피트로 견적하는 것도 아닙니다. 둘 다 다른 질문이고 답도 다릅니다.

내 정사각형

알고 있는 값은… 한 변 넓이 둘레 대각선

한 변(a)

위에서 알고 있는 값을 바꾸면 나머지 셋이 따라옵니다.

단위

소수점 자리

한 변이 20 ft인 정사각형, 실제 비율로 그림

넓이

400 ft²

A = a² = 20²

한 변

20 ft

입력한 값

둘레

80 ft

P = 4a = 4 × 20

대각선

28.28 ft

d = a sqrt(2) = 20 × sqrt(2)

풀이 과정

입력한 한 변: a = 20 ft.
넓이: A = a² = 20 ft² = 400 ft².
둘레: P = 4a = 4 × 20 ft = 80 ft.
대각선: d = a sqrt(2) = 20 ft × sqrt(2) = 28.28 ft.

각 줄은 입력한 수를 그대로 대입하고, 위의 소수점 자리 설정에 맞춰 반올림합니다.

값 하나로 정사각형 풀기

알고 있는 값	한 변	넓이	둘레	대각선
한 변(a)	a	a²	4a	a sqrt(2)
넓이(A)	sqrt(A)	A	4 sqrt(A)	sqrt(2A)
둘레(P)	P / 4	P² / 16	P	P sqrt(2) / 4
대각선(d)	d / sqrt(2)	d² / 2	2d sqrt(2)	d

강조된 줄이 지금 사용 중인 입력입니다. 각 줄은 서로 다른 값에서 출발해 같은 정사각형을 다시 만들어 냅니다.

이 정사각형의 모든 값

항목	값	공식
한 변(a)	20 ft	a
넓이(A)	400 ft²	a²
둘레(P)	80 ft	4a
대각선(d)	28.28 ft	a sqrt(2)
내접원 반지름(r)	10 ft	a / 2
외접원 반지름(R)	14.14 ft	a sqrt(2) / 2

내접원 반지름은 정사각형 안에 꼭 맞는 원이고, 외접원 반지름은 네 꼭짓점을 지나는 원입니다. 둘 다 한 변에서 나옵니다.

이 넓이를 다른 단위로

단위	값
제곱센티미터(cm²)	371,612
제곱미터(m²)	37.16
제곱킬로미터(km²)	0.0000372
헥타르(ha)	0.0037
제곱인치(in²)	57,600
제곱피트(ft²)	400
제곱야드(yd²)	44.44
에이커	0.0092

환산 계수는 NIST SP 811을 따르며 모두 정확한 값입니다. 이 여덟 줄은 위의 소수점 자리 설정과 무관하게 항상 자동 자릿수로 표시됩니다.

공식은 Wolfram MathWorld, 단위 환산 계수는 NIST SP 811 기준. 2026년 9월 7일 확인.

정사각형이 아닌 도형이 필요하신가요? 넓이 계산기가 열두 가지를 다룹니다 →

정사각형 넓이·대각선 계산기. 값 하나로 나머지 셋과 두 반지름까지.

정사각형은 한 변만 정해지면 넓이도 둘레도 대각선도 같이 정해지므로, 넷 중 어느 것을 넣어도 나머지 셋이 나옵니다. 넓이 100 m²를 넣으면 한 변 10 m, 둘레 40 m, 대각선 14.14 m가 한꺼번에 나오고, 아래 표에는 내접원 반지름 5 m와 외접원 반지름 7.07 m가 따라붙습니다.

값 하나면 정사각형이 전부 정해지는 이유

네 변이 모두 같다는 조건 하나가 정사각형에서 잴 수 있는 길이를 한 개로 줄여 버립니다. 한 변 12 m를 정하는 순간 넓이 144 m², 둘레 48 m, 대각선 16.97 m가 함께 결정되고, 카드 네 장이 한 번에 채워집니다. 곱셈과 덧셈만 쓰는 방향이라 여기까지는 연습장에서도 끝납니다.

넓이가 100 m²인데 한 변은 몇 미터인가. 이 방향은 곱셈으로 되돌아갈 수 없고 제곱근이 필요합니다. 답은 한 변 10 m이고, ‘풀이 과정’ 칸에는 ‘한 변: a = sqrt(A) = sqrt(100 m²) = 10 m.’처럼 입력한 수가 그대로 대입된 줄이 나옵니다.

한국 교과서는 이 두 방향을 네 학년 떨어뜨려 놓습니다. 한 변 × 한 변으로 넓이를 구하는 쪽은 초등학교 5학년 1학기 6단원 ‘다각형의 둘레와 넓이’입니다. 아이스크림 홈런의 단원 정리는 이 공식을 ‘정사각형 넓이: 한 변의 길이 X 한 변의 길이’로 적고, 한 변이 6cm인 정사각형을 6 x 6 = 36cm²로 풀어 보입니다. 둘레와 넓이가 한 단원 이름 안에 같이 들어 있다는 점이 한국 과정의 특징이라, 초등학생도 둘레 100 m에서 한 변 25 m까지는 이미 갈 수 있습니다.

반대로 넓이에서 한 변을 되돌리는 계산은 제곱근이어서 중학교 3학년 1학기 ‘실수와 그 계산’ 단원까지 기다려야 합니다. 대각선은 그 사이에 있습니다. 한 변에 루트 2를 곱한다는 사실의 근거가 피타고라스 정리이고, 피타고라스 정리는 중학교 2학년 내용입니다. 수학방의 중2 전체 목차는 이것을 대단원 7 ‘피타고라스 정리’에 두고, 부산광역시교육청 스스로학습터의 중2 2학기 강좌도 도형의 닮음 다음 자리에 같은 단원을 배치합니다. 결과적으로 한국 학생은 대각선(중2)을 넓이에서 한 변 되돌리기(중3)보다 먼저 배웁니다. 이 페이지에서 대각선 입구와 넓이 입구가 나란히 놓여 있어도, 두 입구가 요구하는 학년은 다릅니다.

용어가 둘이라는 점도 한국어 쪽 사정입니다. 교과서와 이 계산기는 ‘넓이’를 쓰지만, 부동산·건축·시공 현장에서는 같은 값을 ‘면적’이라고 부릅니다. 위키백과 ‘넓이’ 항목도 첫 줄을 「넓이 또는 면적(面積, 영어: area)은」으로 시작합니다. 둘은 같은 것이고, 어느 쪽으로 검색하든 답은 같습니다.

한국에서 넓이를 세던 전통 단위 자체가 정사각형이기도 합니다. 위키백과 ‘평’ 항목은 1평을 「길이 여섯 자를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이」로 풀이하고 400/121제곱미터, 약 3.3058제곱미터라고 적습니다. 부동산 광고에서 평이 사라지고 ㎡가 남은 것은 2007년 7월 1일부터인데, 그 뿌리는 결국 이 페이지가 다루는 도형입니다. 다만 단위 목록에 평은 없으니 평으로 읽어야 하는 넓이는 면적 단위 변환으로 넘기면 됩니다.

한국어로 검색할 때 이 페이지와 가장 헷갈리기 쉬운 것은 평수 계산입니다. 아파트 평수나 바닥 면적을 뽑는 일에는 공용면적 배분과 시공 손실률과 단가가 따라붙고, 그 규칙은 매물마다 업체마다 달라집니다. 여기서 나오는 값은 정사각형 하나의 변과 넓이까지입니다.

네 공식과, 대각선에 루트 2가 붙는 이유

A = a^2 \qquad P = 4a \qquad d = a\sqrt{2} \qquad r = \frac{a}{2} \qquad R = \frac{a\sqrt{2}}{2}

$a$ = 한 변의 길이. 나머지 값은 전부 여기에서 조립됩니다.
$A$ = 넓이. 잰 단위로 만든 정사각형이 몇 개 들어가는지를 세므로 m²·cm²·ft²로 씁니다.
$P$ = 둘레. 바깥을 한 바퀴 도는 거리라서 단위는 미터 같은 길이 그대로입니다.
$d$ = 대각선. 마주 보는 꼭짓점을 잇는 선이고, 정사각형 안에서 가장 긴 직선입니다.
$r$ = 내접원 반지름. 정사각형 안에 꼭 맞게 들어가 네 변에 모두 닿는 원의 반지름.
$R$ = 외접원 반지름. 네 꼭짓점을 지나는 원의 반지름이고 언제나 대각선의 절반.

네 공식 가운데 셋은 세기만 하면 나옵니다. 넓이는 한 변을 두 번 곱하고, 둘레는 같은 변을 네 번 더하고, 내접원 반지름은 한 변을 반으로 자릅니다. 증명이 필요한 것은 대각선 하나뿐이고, 피타고라스 정리가 한 줄로 끝냅니다.

정사각형을 대각선으로 자르면 두 변이 모두 정사각형의 한 변이고 빗변이 대각선인 직각이등변삼각형 둘이 생깁니다.

d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \quad \Rightarrow \quad d = a\sqrt{2}

배율은 약 1.4142이고 소수는 끝나지 않습니다. 직각이등변삼각형의 세 변의 비가 1 : 1 : 루트 2가 되는 것도 여기에서 나옵니다. 단위가 무엇이든 이 비는 그대로여서 한 변 12 m면 대각선 16.97 m, 한 변 5 m면 7.07 m입니다.

시험 답안과 화면이 갈라지는 자리가 바로 여기입니다. 손으로 푼 답에는 근호를 그대로 남깁니다.

d = 12\sqrt{2} \approx 16.97

폼이 존재하는 이유는 이 세 공식을 거꾸로 쓸 수 있다는 데 있습니다.

a = \sqrt{A} \qquad a = \frac{P}{4} \qquad a = \frac{d}{\sqrt{2}}

제곱과 제곱근은 서로를 지우므로 첫 번째는 그것으로 설명이 끝납니다. 넓이가 한 변을 두 번 곱한 값이라면, 두 번 곱해서 넓이가 되는 수가 한 변입니다. 넓이 25 m²면 한 변 5 m, 둘레 20 m가 그대로 따라 나옵니다.

역산 둘을 이어 붙이면 문제집이 그대로 묻는 지름길이 됩니다.

A = \frac{P^2}{16} \qquad A = \frac{d^2}{2}

둘레 100 m는 한 변 25 m이니 넓이는 625 m², 대각선 10이면 10 × 10 ÷ 2로 50입니다. 뒤쪽 식은 마름모의 넓이 공식과 같은 꼴인데, 정사각형이 마름모의 특별한 경우이기 때문입니다. 페이지 쪽은 지름길을 쓰지 않습니다. 한 변부터 구한 다음 나머지를 쌓아 올리고, 각 대입을 입력한 수 그대로 인쇄합니다.

카드에는 없고 ‘이 정사각형의 모든 값’ 표의 아래 두 줄에만 나오는 양이 둘 있습니다.

r = \frac{a}{2} \qquad R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{d}{2}

앞의 것은 그 정사각형에서 오려낼 수 있는 가장 큰 원의 반지름, 뒤의 것은 네 꼭짓점에 닿는 원의 반지름입니다. 한 변 12 m짜리라면 6 m와 8.49 m가 됩니다. 원과 정사각형을 겹쳐 놓은 도형 문제에서는 이 두 값이 곧바로 답의 열쇠가 됩니다.

네 입구를 실제 숫자로 따라가기

페이지를 열면 보이는 화면: 한 변 20 ft

손대기 전에 이미 답이 나와 있습니다. ‘알고 있는 값은…’이 ‘한 변’, 값이 20, 단위가 ‘피트(ft)’인 상태입니다.

넓이 400 ft² (카드 아래 줄은 A = a² = 20²)
둘레 80 ft
대각선 28.28 ft
내접원 반지름 10 ft, 외접원 반지름 14.14 ft

한국에서 쓸 값을 넣을 때는 숫자보다 단위를 먼저 바꾸는 편이 낫습니다. ‘단위’ 목록의 첫 항목이 피트(ft)이고 그것이 모든 언어에서 초기값이라, 미터(m)나 센티미터(cm)로 옮겨 놓고 나서 숫자를 넣으면 카드와 그림과 풀이 과정이 한 번에 맞아떨어집니다. 순서를 반대로 해도 결과는 같지만 중간에 이상한 숫자를 한 번 보게 됩니다.

‘둘레’ 입구로 옮겨 80을 넣어도 화면은 그대로입니다. 한 변 20 ft, 넓이 400 ft², 대각선 28.28 ft. 네 입구가 같은 정사각형을 다시 만들어 낸다는 것이 카드 아래 ‘값 하나로 정사각형 풀기’ 표의 요지입니다.

넓이 100 m²에서 한 변 되돌리기 — 중3 제곱근 그 자체

입구를 ‘넓이’로 두고 100을 넣은 다음 단위를 미터(m)로 맞춘 상태입니다.

한 변 10 m (카드 아래 줄은 a = sqrt(A) = sqrt(100))
둘레 40 m
대각선 14.14 m
내접원 반지름 5 m, 외접원 반지름 7.07 m

넓이가 제곱수면 한 변은 깔끔하게 떨어집니다. 문제는 이 방향을 지원하는 한국어 페이지가 드물다는 점입니다. calculator.io의 한국어 페이지 ‘면적 계산기: 정사각형, 원, 직사각형, 삼각형 넓이’는 도형 목록에 직사각형을 두고 가로(a)와 세로(b)를 받는 구조라, 넓이를 넣고 한 변을 되돌려 받는 칸이 없습니다. 아이스크림 홈런의 단원 정리는 초등학생용 설명이라 넓이 공식 한 줄에서 멈춥니다.

반면 MiniWebtool의 한국어 정사각형 계산기는 변 길이·넓이·둘레·대각선 네 입구를 모두 받고 ‘내접원 및 외접원’ 항목까지 갖추고 있습니다. 한국어도 「정사각형은 네 변의 길이가 모두 같고 네 각이 모두 같은(각 90°) 정다각형입니다」처럼 어색하지 않게 읽힙니다. 그쪽에 없는 것은 단위 선택입니다. m인지 cm인지 ft인지를 고르는 칸이 없어서, 숫자만 있고 단위는 읽는 사람의 머릿속에만 남습니다.

둘레 100 m — 문제집 단골

‘둘레가 100 m인 정사각형의 넓이를 구하시오’는 넓이도 한 변도 아닌 값을 건네준다는 점에서 까다로운 형태입니다. 입구를 ‘둘레’로 두고 100, 단위는 미터(m)입니다.

한 변 25 m (카드 아래 줄은 a = P / 4 = 100 / 4)
넓이 625 m²
대각선 35.36 m

한 줄로 끝내려면 A = P² / 16입니다. 함정은 둘레를 그대로 제곱하는 것으로, 100²은 10,000이라 정답의 16배가 됩니다. 먼저 4로 나눈 다음 제곱한다는 순서를 ‘풀이 과정’의 둘째 줄과 셋째 줄이 그대로 보여 줍니다.

초등학교 5학년 1학기 단원 이름이 ‘다각형의 둘레와 넓이’인 덕분에, 둘레에서 한 변까지 가는 앞부분은 초등 범위 안에 있습니다. 625까지 가는 것도 곱셈 하나면 됩니다. 학년이 올라가도 이 문제가 그대로 남는 이유는 계산의 난이도가 아니라 두 단계의 순서에 있습니다.

한 변 5 m — 답안에는 5루트2, 화면에는 7.07

입구를 ‘한 변’으로 두고 5, 단위는 미터(m)입니다.

넓이 25 m²
둘레 20 m
대각선 7.07 m
내접원 반지름 2.5 m, 외접원 반지름 3.54 m

중학교 답안지에 적어야 하는 값은 7.07 m가 아니라 5루트2 m입니다. 근호를 포함한 식의 계산은 중3 ‘실수와 그 계산’ 단원의 내용입니다. 이 계산기는 소수만 돌려주므로, 손으로 푼 5루트2가 맞는지 확인하는 용도로 쓰는 편이 정확합니다. 5루트2를 소수로 펼치면 7.07이 나오면 맞은 것입니다.

단위를 목록 맨 아래 ‘단위 없음’으로 바꾸면 카드에서도 풀이 과정에서도 그림에서도 단위 글자가 사라지고, 환산할 대상이 없어지므로 단위 표도 숨습니다. 남는 값은 25, 20, 7.07. 계산 자체는 달라지지 않습니다.

한 변 12 m — 같은 넓이를 여덟 줄로 다시 읽기

입구를 ‘한 변’으로 두고 12, 단위는 미터(m)입니다. 넓이 144 m², 둘레 48 m, 대각선 16.97 m가 나오고, 그림 제목은 ‘한 변이 12 m인 정사각형, 실제 비율로 그림’으로 바뀝니다.

‘이 넓이를 다른 단위로’를 펼치면 같은 144 m²가 이렇게 늘어섭니다.

제곱센티미터(cm²) 1,440,000
헥타르(ha) 0.0144
제곱인치(in²) 223,200
제곱피트(ft²) 1,550
제곱야드(yd²) 172.22
에이커 0.0356

남은 두 줄은 제곱미터 자신과 제곱킬로미터입니다. 첫 줄의 1,440,000이라는 숫자가 넓이의 성질을 그대로 보여 줍니다. 1 m가 100 cm이니 1 m²는 100 × 100 = 10,000 cm²이고, 144 m²는 그 144배입니다. 이 관계는 1cm²와 1m²를 함께 배우는 초등 5학년 과정에도 나오지만, 144 m²처럼 큰 값에서는 표로 한 번 보는 편이 빠릅니다.

이 여덟 줄만은 위에서 고른 소수점 자리 설정을 따르지 않고 언제나 자동 자릿수로 나옵니다. 단위 크기가 몇 자릿수씩 벌어져 있어서, 자릿수를 고정하면 어느 한 줄이 0으로 찌그러지기 때문입니다.

사용법: 아는 값을 고르고 숫자 하나를 넣는다

계산 버튼이 없습니다. 카드도 그림도 풀이 과정도 표 세 개도 입력하는 동안 함께 움직입니다.

1. ‘알고 있는 값은…’ 띠에서 입구를 고릅니다. 한 변·넓이·둘레·대각선 넷입니다.

2. 숫자를 하나 넣습니다. 칸의 이름표가 고른 입구에 맞춰 ‘한 변(a)’, ‘넓이(A)’, ‘둘레(P)’, ‘대각선(d)’으로 바뀌고, 아래에는 ‘위에서 알고 있는 값을 바꾸면 나머지 셋이 따라옵니다.’가 붙습니다.

3. ‘단위’를 먼저 맞춥니다. 초기값이 피트(ft)라서 한국에서 쓰는 값을 넣을 때는 미터(m)나 센티미터(cm)로 바꿔야 합니다. 순서는 피트(ft)·인치(in)·야드(yd)·마일(mi)·밀리미터(mm)·센티미터(cm)·미터(m)·킬로미터(km)·단위 없음. 입구가 ‘넓이’일 때는 칸에 붙는 단위가 m²처럼 자동으로 제곱이 됩니다.

4. ‘소수점 자리’는 ‘자동’ 그대로 두어도 됩니다. 자동은 사람이 받아 적을 때의 반올림이라 1,000 이상은 정수, 1 이상은 소수 두 자리, 1 미만은 네 자리입니다. 0·2·4·6을 고르면 자릿수를 고정하고 남는 자리를 0으로 채우므로, 4를 고르면 400은 400.0000으로 표시됩니다.

5. 카드는 넉 장입니다. 가장 큰 ‘넓이’가 맨 앞이고 어느 입구로 들어와도 넓이·한 변·둘레·대각선 순서가 유지됩니다. 자기가 직접 넣은 카드에는 ‘입력한 값’이 붙고, 나머지 카드에는 대입한 식이 붙습니다. 한 변 12 m라면 넓이 카드 아래가 ‘A = a² = 12²’입니다.

6. 폼 옆의 그림은 넣은 숫자 그대로의 비율로 그려집니다. 제목은 ‘한 변이 12 m인 정사각형, 실제 비율로 그림’처럼 바뀌고, 한 변의 치수와 대각선이 도형 위에 적힙니다.

7. ‘풀이 과정’은 처음부터 펼쳐져 있습니다. 네 줄 모두 넣은 숫자가 그대로 대입되어 있고, 캡션은 ‘각 줄은 입력한 수를 그대로 대입하고, 위의 소수점 자리 설정에 맞춰 반올림합니다.’입니다. 넓이 100 m²로 들어왔을 때 둘째 줄은 ‘한 변: a = sqrt(A) = sqrt(100 m²) = 10 m.’입니다.

8. 표는 셋입니다. ‘값 하나로 정사각형 풀기’는 16칸짜리 조견표로 지금 쓰는 줄이 강조됩니다. ‘이 정사각형의 모든 값’은 여섯 줄이고, 카드에 없는 내접원 반지름(r)과 외접원 반지름(R)이 여기에 나옵니다. ‘이 넓이를 다른 단위로’는 여덟 줄이며, 접혀 있는 것은 이 표뿐입니다.

9. 숙제나 답안 작성에는 ‘단위 없음’을 고릅니다. 화면 어디에도 단위 글자가 남지 않고, 환산할 것이 없어지므로 단위 표까지 접힙니다. 계산 자체는 그대로입니다.

0 이하를 넣으면 카드는 ‘—’로 떨어지고 ‘한 변의 길이는 0보다 커야 합니다.’처럼 0보다 커야 하는 항목의 이름이 나옵니다. 화면 맨 아래에는 ‘공식은 Wolfram MathWorld, 단위 환산 계수는 NIST SP 811 기준.’으로 시작해 확인 날짜로 끝나는 줄이 늘 붙어 있습니다.

네 입구에서 푼 정사각형 아홉 개 (첫 화면은 한 변 20 ft입니다)

넣는 값	한 변	넓이	둘레	대각선
한 변 = 12 m	12 m	144 m²	48 m	16.97 m
넓이 = 100 m²	10 m	100 m²	40 m	14.14 m
둘레 = 100 m	25 m	625 m²	100 m	35.36 m
한 변 = 5 m	5 m	25 m²	20 m	7.07 m
넓이 = 1 m²	1 m	1 m²	4 m	1.41 m
한 변 = 20 ft	20 ft	400 ft²	80 ft	28.28 ft
넓이 = 250 ft²	15.81 ft	250 ft²	63.25 ft	22.36 ft
둘레 = 80 ft	20 ft	400 ft²	80 ft	28.28 ft
대각선 = 10 ft	7.07 ft	50 ft²	28.28 ft	10 ft

종이 위에서 정사각형이 어긋나는 자리

대각선을 반으로 나눠 한 변으로 쓴다. 절반이 되는 것은 외접원 반지름, 즉 중심에서 꼭짓점까지의 거리입니다. 한 변은 대각선을 루트 2로 나눈 값이라 대각선의 약 0.7071배이고, 대각선 10이면 한 변은 7.07이지 5가 아닙니다.
둘레를 그대로 제곱한다. 둘레에서 넓이로 가는 식은 P² / 16이지 P²이 아닙니다. 둘레 100 m는 한 변 25 m에 넓이 625 m²이고, 100을 제곱한 10,000은 정답의 16배입니다.
근호를 소수로 바꿔 답안에 옮긴다. 한 변 5 m짜리의 대각선은 답안에서 5루트2 m로 써야 하고, 화면의 7.07 m는 그것을 확인하는 값입니다. 반대로 자재 주문서에는 5루트2를 적을 수 없으니, 어느 쪽에 쓸 숫자인지를 먼저 정해야 합니다.
넓이를 m로 적는다. 넓이는 잰 단위로 만든 정사각형을 세는 값입니다. 아이스크림 홈런의 5학년 단원 정리도 「cm²는 제곱센티미터로 읽으며, 넓이를 나타낼 때 한 변의 길이가 1cm인 정사각형의 넓이를 단위로 사용할 수 있어요!」라고 이 순서로 설명합니다. 입구를 ‘넓이’로 바꾸면 입력 칸의 단위가 m²로 저절로 바뀌므로, 폼 쪽이 먼저 알려 주는 셈입니다.
㎡를 3.3으로 나눠 평으로 읽는다. 1평은 3.3이 아니라 400/121, 약 3.3058㎡입니다. 3.3으로 나누면 평수가 실제보다 크게 나오고, 넓이가 클수록 그 차이도 함께 커집니다. 애초에 이 계산기의 단위 목록에는 평이 없습니다. 평으로 읽을 값은 면적 단위 변환에서 처리하세요.
한 변을 2배로 하면 넓이도 2배라고 본다. 가로와 세로가 동시에 늘어나므로 넓이는 배율의 제곱만큼 커집니다. 한 변 5 m는 25 m², 한 변 10 m는 100 m²로 네 배입니다. 같은 변화에도 둘레는 20 m에서 40 m로 두 배에 그칩니다.
첫걸음에서 반올림한다. 넓이 250 ft²의 한 변 15.81 ft는 sqrt(250)을 반올림해 보여 준 값이라, 15.81을 다시 제곱해도 250으로 정확히 돌아오지 않습니다. 이어서 계산할 값이라면 소수점 자리를 6으로 올린 뒤 읽어 가세요.
한 변만 재고 정사각형이라고 단정한다. 옆 변도 재 보세요. 길이가 다르면 그것은 직사각형이고, 이 페이지의 값은 어느 것도 맞지 않습니다. 대각선 두 개가 같다는 사실도 증거가 되지 못합니다. 직사각형의 두 대각선 역시 같기 때문입니다.

제대로 써먹는 요령

학년에 맞춰 입구를 고른다 — 한 변 × 한 변과 둘레는 초등 5학년 범위, 한 변에서 대각선으로 가는 계산은 중2 피타고라스 정리, 넓이에서 한 변을 되돌리는 계산은 중3 제곱근입니다. 답안에 근호를 쓸 수 있는 학년인지에 따라 쓸 입구가 달라집니다.
답안 작성은 ‘단위 없음’으로 — 옮겨 적으면서 지워야 할 단위 글자가 처음부터 나오지 않습니다. 계산은 단위를 켰을 때와 완전히 같으므로, 화면의 숫자를 그대로 답안에 쓸 수 있습니다.
자르거나 주문하기 전에는 소수점 자리를 6으로 — sqrt(250)처럼 나누어떨어지지 않는 값의 15.81 ft는 반올림한 모습입니다. 반올림한 값을 다시 곱하거나 나누면 오차가 쌓이므로, 다음 계산으로 넘길 숫자는 자릿수를 올려서 읽습니다.
넓이가 나오면 살 것을 둘로 나눈다 — 까는 자재는 넓이, 몰딩·테두리·테이프는 둘레로 셉니다. 한 변 12 m면 144 m²와 48 m이고, 넓이만 봐서는 둘레를 알 수 없습니다. 반입이 되는지는 대각선 16.97 m가 정합니다. 완성된 정사각형에서 가장 긴 치수이기 때문입니다.
원이 끼는 문제는 표를 본다 — 정사각형에서 원을 오려 내는 문제면 내접원 반지름, 정사각형을 원 안에 집어넣는 문제면 외접원 반지름이 답의 출발점입니다. 두 값은 카드가 아니라 ‘이 정사각형의 모든 값’ 표에 있습니다.
해외 견적을 받을 때는 단위 표를 펼친다 — 같은 144 m²가 1,550 제곱피트, 172.22 제곱야드로도 적혀 있습니다. 견적서의 단위에 맞춰 숫자를 다시 계산할 필요가 없습니다.

카드와 표에 나오는 말

한 변(a)

한 변의 길이. 정사각형은 네 변이 같으므로 이 하나가 정해지면 나머지 값이 전부 따라옵니다. 폼의 초기 상태는 한 변 20 ft입니다.

넓이(A) / 면적

정사각형이 덮는 크기이고 한 변을 두 번 곱한 값입니다. 교과서와 이 계산기는 ‘넓이’, 부동산과 시공 현장은 ‘면적’을 쓰지만 같은 것을 가리킵니다. 한 변 12 m면 144 m².

둘레(P)

바깥을 한 바퀴 도는 거리로 한 변의 네 배입니다. 초등학교 5학년 1학기 단원 이름이 ‘다각형의 둘레와 넓이’라서 넓이와 같은 시기에 배웁니다. 한 변 12 m면 48 m.

대각선(d)

마주 보는 꼭짓점을 잇는 선이고 한 변에 루트 2를 곱한 길이입니다. 정사각형 안에서 가장 긴 직선이라, 판재가 문을 통과하는지는 이 값이 결정합니다.

제곱근

두 번 곱해서 그 수가 되는 값. 중학교 3학년 1학기 ‘실수와 그 계산’ 단원에서 배우고, 정사각형의 넓이에서 한 변을 되돌리는 계산이 정확히 이것입니다. 넓이 100 m²면 한 변 10 m, 넓이 250 ft²면 15.81 ft.

피타고라스 정리

직각삼각형에서 빗변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같다는 정리로, 중학교 2학년 내용입니다. 정사각형을 대각선으로 자르면 직각이등변삼각형이 되므로 d² = a² + a² = 2a²에서 대각선이 한 변의 루트 2배임이 나옵니다.

내접원 반지름(r)

정사각형 안에 꼭 맞게 들어가 네 변에 모두 닿는 원의 반지름이고 한 변의 절반입니다. 한 변 12 m면 6 m이며, 그 정사각형에서 오려낼 수 있는 가장 큰 원입니다.

외접원 반지름(R)

네 꼭짓점을 지나는 원의 반지름이고 대각선의 절반입니다. 한 변 12 m면 8.49 m. 이 반지름으로 원을 그리면 정사각형이 그 안에 딱 들어갑니다.

제곱미터(m²)

한 변의 길이가 1 m인 정사각형의 넓이를 하나로 세는 단위입니다. 1 m가 100 cm이므로 1 m²는 10,000 cm²이고, 단위 표가 여덟 자릿수를 넘나드는 이유도 여기에 있습니다.

단위 없음

단위 목록의 맨 아래 항목. 고르면 화면에서 단위 글자가 빠지고 단위 환산 표도 접힙니다. 계산은 달라지지 않으므로 답안에 숫자만 옮겨 적을 때 씁니다.

이 페이지가 하지 않는 일

제곱(x²) 계산기가 아닙니다. 수를 제곱하는 것은 대수 쪽 일이라 음수도 성립합니다. 여기에 들어가는 값은 전부 정사각형 하나의 길이나 넓이여서, 0 이하를 넣으면 카드가 ‘—’로 떨어지고 ‘한 변의 길이는 0보다 커야 합니다.’처럼 0보다 커야 하는 항목의 이름이 뜹니다.

평수 견적과도 다릅니다. 매물의 넓이, 바닥재 주문량, 거기에 붙는 손실률과 단가는 업체마다 규칙이 따라오는 별개의 일입니다. 이 페이지는 정사각형 하나를 재고 그 넓이를 여덟 단위로 다시 말해 주는 데서 멈춥니다.

도형은 정사각형 하나뿐입니다. 직사각형·마름모·원·삼각형은 이 폼으로 다룰 수 없습니다. 화면 아래에 ‘정사각형이 아닌 도형이 필요하신가요? 넓이 계산기가 열두 가지를 다룹니다 →’라는 링크가 있는데, 그 넓이 계산기는 아직 한국어 페이지가 없어 영어판으로 연결됩니다. 그쪽은 치수를 넣어 넓이를 내는 방향 전용이기도 합니다.

평·단보·정보는 단위 목록에 없습니다. 쓸 수 있는 것은 ft·in·yd·mi·mm·cm·m·km과 단위 없음입니다. 평으로 읽을 넓이는 면적 단위 변환이, 한 변이나 대각선을 다른 길이 단위로 바꾸는 일은 길이 단위 변환이 맡습니다.

근호를 그대로 둔 답은 나오지 않습니다. 넓이 250 ft²의 한 변은 sqrt(250)이지만, 풀이 과정은 간단히 한 근호가 아니라 15.81 ft라는 수치를 대입합니다. 가까이 갈 수 있는 한계는 소수점 여섯 자리까지입니다.

화면의 반올림과 내부 값은 별개입니다. 자동 반올림은 사람이 받아 적을 자릿수에 맞춘 것일 뿐이고, 뒤에는 배정밀도 수가 그대로 남아 있습니다. 대각선 10으로 들어왔을 때 넓이가 내부적으로 49.99999999999999로 유지되고 화면에만 50으로 찍히는 것이 그 때문입니다.

정사각형 넓이·대각선에 대해 자주 묻는 것

정사각형 넓이 구하는 공식은 무엇인가요?

한 변 × 한 변입니다. 한 변이 12 m면 12 × 12 = 144 m². ‘알고 있는 값은…’에서 ‘한 변’을 고르고 12를 넣으면 넓이 144 m²와 함께 둘레 48 m, 대각선 16.97 m가 같이 나옵니다.

정사각형 넓이를 알 때 한 변의 길이는 어떻게 구하나요?

넓이에 제곱근을 씌웁니다. 넓이 100 m²면 한 변 10 m, 넓이 250 ft²면 15.81 ft입니다. 입구를 ‘넓이’로 바꾸고 숫자를 넣으면 한 변 카드 아래에 ‘a = sqrt(A) = sqrt(100)’처럼 대입한 식이 붙습니다. 이 방향만은 곱셈으로 되돌아갈 수 없어서 계산기가 필요합니다.

정사각형 대각선 길이 공식은 무엇인가요?

한 변에 루트 2, 약 1.4142를 곱합니다. 한 변 12 m면 16.97 m, 한 변 5 m면 7.07 m입니다. 근거는 피타고라스 정리로, 대각선으로 자른 직각이등변삼각형의 세 변의 비가 1 : 1 : 루트 2이기 때문입니다.

대각선에서 정사각형 넓이를 구하려면 어떻게 하나요?

대각선 × 대각선 ÷ 2입니다. 대각선이 10이면 10 × 10 ÷ 2 = 50. 마름모의 넓이 공식을 마름모의 특별한 경우인 정사각형에 적용한 것과 같은 식입니다.

정사각형 넓이는 몇 학년에 배우나요?

한 변 × 한 변으로 넓이를 구하는 것은 초등학교 5학년 1학기 6단원 ‘다각형의 둘레와 넓이’입니다. 아이스크림 홈런의 단원 정리도 같은 자리에서 ‘정사각형 넓이: 한 변의 길이 X 한 변의 길이’를 적고 한 변 6cm짜리를 6 x 6 = 36cm²로 풀어 보입니다. 둘레도 같은 단원에서 함께 나옵니다.

대각선과 제곱근은 각각 몇 학년 내용인가요?

한 변에서 대각선을 구하는 근거인 피타고라스 정리는 중학교 2학년 내용입니다. 수학방의 중2 전체 목차에서 대단원 7이 ‘피타고라스 정리’이고, 부산광역시교육청 스스로학습터의 중2 2학기 강좌도 같은 단원을 둡니다. 넓이에서 한 변을 되돌리는 제곱근은 한 학년 뒤인 중학교 3학년 1학기 ‘실수와 그 계산’입니다. 그래서 한국 학생은 대각선을 먼저 배우고 역산을 나중에 배웁니다.

넓이와 면적은 다른 말인가요?

같은 말입니다. 위키백과 ‘넓이’ 항목도 첫 줄이 「넓이 또는 면적(面積, 영어: area)은」입니다. 학교 교과서와 이 계산기는 ‘넓이’를 쓰고, 부동산·건축 쪽 문서는 ‘면적’을 씁니다.

넓이를 왜 m가 아니라 m²로 쓰나요?

세는 대상이 다르기 때문입니다. 둘레는 한 바퀴 도는 거리라 단위가 미터 그대로지만, 넓이는 한 변 1 m짜리 정사각형이 몇 개 들어가는지를 세므로 m²로 씁니다. 144 m²는 1 m 사방이 144개라는 뜻입니다. 여기를 놓치면 계산이 맞아도 답안에서 감점됩니다.

내접원 반지름과 외접원 반지름은 무엇인가요?

내접원은 정사각형 안에 꼭 맞게 들어가 네 변에 닿는 원이고 반지름은 한 변의 절반, 외접원은 네 꼭짓점을 지나는 원이고 반지름은 대각선의 절반입니다. 한 변 12 m라면 6 m와 8.49 m입니다. 둘 다 카드에는 나오지 않고 ‘이 정사각형의 모든 값’ 표의 아래 두 줄에 있습니다. 원과 정사각형이 겹친 도형 문제에서 답의 열쇠가 되는 값입니다.

왜 처음에 피트(ft)로 열리나요?

단위 목록의 첫 항목이 피트이고 그것이 모든 언어의 초기값이기 때문입니다. 한국에서 쓸 값을 넣을 때는 ‘단위’를 미터(m)나 센티미터(cm)로 먼저 바꿔 두면 카드·그림·풀이 과정이 한 번에 맞습니다.

이 계산기에서 평 단위로 계산할 수 있나요?

없습니다. 단위 목록은 ft·in·yd·mi·mm·cm·m·km과 단위 없음뿐입니다. 평은 원래 여섯 자를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이여서 이 페이지의 도형과 뿌리가 같지만, 환산 자체는 면적 단위 변환이 맡습니다.

숙제용으로 단위 없이 쓸 수 있나요?

네. 단위 목록 맨 아래 ‘단위 없음’을 고르면 화면 어디에도 단위 글자가 남지 않고, 환산할 대상이 없어지므로 단위 표까지 접힙니다. 계산은 그대로이므로 나온 숫자를 답안에 바로 옮기면 됩니다.

가입이나 설치 없이 바로 쓸 수 있나요?

네. 계산 버튼도 없어서 숫자를 넣는 동안 카드·그림·풀이 과정·표 세 개가 함께 움직입니다.

화면에 나오는 값은 어디까지 믿어도 되나요?

공식은 Wolfram MathWorld, 넓이 환산 계수는 NIST SP 811에서 가져왔고 반올림하는 것은 표시뿐입니다. 자동 반올림은 1,000 이상이면 정수, 1 이상이면 소수 두 자리, 1 미만이면 네 자리이며 0·2·4·6으로 고정할 수도 있습니다. 뒤에서는 배정밀도 수가 그대로 돌아가므로, 대각선 10으로 들어오면 넓이가 내부적으로 49.99999999999999이고 화면에는 50으로 나옵니다.

넓이가 나온 다음에는 무엇을 보면 되나요?

용도에 따라 갈립니다. 까는 자재는 넓이, 몰딩과 테두리는 둘레로 세고, 반입 가능 여부는 대각선이 정합니다. 첫 화면의 한 변 20 ft짜리라면 400 ft²·80 ft·28.28 ft 세 값이고, 넓이만으로는 둘레를 알 수 없습니다. 미터로 견적을 받아야 하면 ‘이 넓이를 다른 단위로’를 펼쳐 같은 400 ft²를 37.16 제곱미터나 44.44 제곱야드로 읽으면 됩니다.

둘레가 같으면 정사각형이 가장 넓은가요?

사각형 중에서는 정사각형이 가장 넓습니다. 둘레가 같은 직사각형은 모두 넓이가 작아지고, 정사각형에서 멀어질수록 더 좁아집니다. 도형 전체로 넓히면 원이 이기므로, 같은 길이의 울타리로 두른다면 둥글게 두르는 쪽이 더 넓습니다.

출처 및 참고문헌

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