Calculateur de score z

Q: Score z et score T : quelle différence ?

Le score T est un score z changé d'échelle : T = 50 + 10 × z, soit une moyenne de 50 et un écart type de 10, sans valeurs négatives en pratique. z = +1,6 donne T = 66 et z = -1,5 donne T = 35. Le t de Student est une autre grandeur, calculée avec un écart type estimé sur un échantillon ; le T-score d'une ostéodensitométrie aussi, puisqu'il compare une densité osseuse à celle d'un jeune adulte en bonne santé du même sexe. Sur cette page, basculer « Saisie en » convertit le nombre déjà tapé : en mode « Du score z à la probabilité », 1,96 devient 69,6.

Q: La cote Z des universités québécoises, est-ce le même calcul ?

La formule de départ est la même : l'écart à la moyenne du groupe divisé par l'écart type. D'après Wikipédia (« Cote Z (statistiques) »), les universités québécoises ont sélectionné les candidats avec cette cote jusqu'en 1994, puis l'ont remplacée par la cote R, qui tient compte de la force relative du groupe. Cette page calcule le score z statistique et ses aires sous la loi normale ; elle ne calcule pas la cote R.

Q: Puis-je calculer ici le score z d'IMC d'un enfant ?

Non. Pour l'IMC d'un enfant, l'OMS publie des références par sexe et par âge (de 5 à 19 ans pour l'IMC pour l'âge), en scores z et en centiles, avec leur propre notice de calcul. Une moyenne et un écart type uniques, comme ceux que demande cette page, ne les reproduisent pas : utilisez les courbes de l'OMS ou celles de votre médecin.

Passez d'une valeur, de la moyenne et de l'écart type au score z et au score T, lisez n'importe quelle aire sous la loi normale, ou remontez d'un centile au z qui le délimite.

De la valeur au score z Du score z à la probabilité Entre deux scores Du centile au score z

Aire À gauche À droite Bilatérale Centrale

Valeur (x)

Moyenne (μ)

Écart type (σ)

L'écart type σ de la population. Pour un échantillon, saisissez s : la formule est la même.

Score z

+1,6

= (15 − 11) / 2,5

En dessous de 15

94,52 %

0,945201

Score T

Score T = 50 + 10 × z

Position sur la courbe de la loi normale

Les aires supposent une loi normale. Pour une vraie classe ou un vrai examen, les parts et les rangs sont des estimations.

Toutes les aires pour z = +1,6

Aire	Probabilité	Pourcentage
À gauche de z P(Z < 1,6)	0,945201	94,52 %
À droite de z P(Z > 1,6)	0,0547993	5,48 %
Entre −z et +z P(\|Z\| < 1,6)	0,890401	89,04 %
Deux queues P(\|Z\| > 1,6)	0,109599	10,96 %
De la moyenne à z P(0 < Z < 1,6)	0,445201	44,52 %

Le calcul pas à pas

Centrer-réduire : z = (15 − 11) / 2,5 = +1,6
Du score T au score z : z = (— − 50) / 10 = +1,6
On résout Φ(z) = — : z = +1,6
Score T : 50 + 10 × 1,6 = 66
Aire à gauche : P(Z < 1,6) = Φ(1,6) = 0,945201 (94,52 %)
Des scores T aux scores z : (— − 50) / 10 = — et (— − 50) / 10 = —
Les deux queues : P(Z < —) = — et P(Z > —) = —
Entre : 1 − — − — = — (—)
Entre, par la queue droite : P(Z > —) − P(Z > —) = — − — = — (—)
Entre, par la queue gauche : P(Z < —) − P(Z < —) = — − — = — (—)
Hors des bornes : — + — = — (—)
Valeur brute : x = 11 + 1,6 × 2,5 = —
Rang : — × — = —, arrondi au supérieur : —

Table des scores T : part supérieure et rang sur 1 000

Score T	z	Au-dessus	En dessous	Rang sur 1 000

Les parts supposent des notes distribuées selon une loi normale. Le rang se compte depuis le haut sur 1 000 personnes, arrondi au supérieur.

Table de la loi normale centrée réduite

z	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
1,0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817
2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857
2,2	0,9861	0,9864	0,9868	0,9871	0,9875	0,9878	0,9881	0,9884	0,9887	0,9890
2,3	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0,9904	0,9906	0,9909	0,9911	0,9913	0,9916
2,4	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932	0,9934	0,9936
2,5	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0,9948	0,9949	0,9951	0,9952
2,6	0,9953	0,9955	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962	0,9963	0,9964
2,7	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974
2,8	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
2,9	0,9981	0,9982	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986	0,9986
3,0	0,9987	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990
3,1	0,9990	0,9991	0,9991	0,9991	0,9992	0,9992	0,9992	0,9992	0,9993	0,9993
3,2	0,9993	0,9993	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9995	0,9995	0,9995
3,3	0,9995	0,9995	0,9995	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9997
3,4	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9998

Chaque case donne Φ(z), l'aire à gauche de z. La ligne donne z au dixième et la colonne ajoute le centième : z = 1,96 se lit ligne 1,9, colonne 0,06. Pour un z négatif, Φ(−z) = 1 − Φ(z) ; le calculateur ci-dessus donne tout z exactement.

Valeurs critiques usuelles

z	À gauche	À droite	Centrale
1,000	84,13 %	15,87 %	68,27 %
1,282	90 %	10 %	80 %
1,645	95 %	5 %	90 %
1,960	97,5 %	2,5 %	95 %
2,000	97,72 %	2,28 %	95,45 %
2,326	99 %	1 %	98 %
2,576	99,5 %	0,5 %	99 %
3,000	99,87 %	0,13 %	99,73 %
3,291	99,95 %	0,05 %	99,9 %

Chaque z est le seuil exact de son pourcentage, arrondi à trois décimales : 1,960 laisse 2,5 % dans chaque queue et 95 % au centre.

Vous avez toutes les notes mais ni la moyenne ni σ ? Calculez-les d'abord avec le calculateur d'écart type.

Calculateur de score z. Probabilité, centile et seuil sous la loi normale centrée réduite.

Le calculateur de score z centre et réduit une valeur grâce à la moyenne et à l'écart type, puis lit l'aire associée sous la loi normale centrée réduite. Dans l'autre sens, il donne le score z d'un centile ou d'un niveau de confiance et surligne sa case dans la table de la loi normale.

Qu'est-ce qu'un score z ?

Le score z, ou cote Z, est le nombre d'écarts types qui séparent une valeur de la moyenne de son groupe : z = (x − μ) / σ. Un z positif place la valeur au-dessus de la moyenne, un z négatif en dessous, et z = 0 tombe sur la moyenne elle-même. Avec 13/20 dans une promo dont la moyenne est 11 et l'écart type 2,5, z = (13 − 11) / 2,5 = +0,8 : la note se situe 0,8 écart type au-dessus de la moyenne. On écrit aussi « Z-score », et « note z » en psychométrie.

En français, ce calcul s'appelle centrer-réduire. Retrancher μ centre la variable (sa moyenne devient 0) ; diviser par σ la réduit (son écart type devient 1). Si X suit la loi normale N(μ ; σ²), Z = (X − μ) / σ suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1), et une seule table sert alors pour toutes les lois normales, quelles que soient leur moyenne et leur unité. Le même passage rend comparables deux notes prises sur des barèmes différents.

La table de la loi normale donne Φ(z), la fonction de répartition : l'aire sous la courbe à gauche de z, c'est-à-dire la part des valeurs inférieures, qu'on appelle aussi centile ou rang percentile. Pour z = +0,8, Φ(0,8) = 0,788145 : sous une loi normale, 78,81 % des notes seraient inférieures à 13. Les autres aires se déduisent de Φ. La part au-dessus vaut 1 − Φ(z) ; la part bilatérale, au-delà de −|z| ou de +|z|, correspond à la p-valeur bilatérale d'un test z ; l'aire centrale, entre −|z| et +|z|, se lit comme un niveau de confiance.

Sur cette page, le sens du calcul se choisit avec quatre boutons : « De la valeur au score z », sélectionné à l'ouverture, « Du score z à la probabilité », « Entre deux scores » et « Du centile au score z ». Le groupe « Aire » (À gauche, À droite, Bilatérale, Centrale) indique quelle part de la courbe lire ; il disparaît en mode « Entre deux scores », où l'aire est celle comprise entre les deux bornes. Dans « Du score z à la probabilité » et « Entre deux scores », le groupe « Saisie en » accepte un score T à la place du score z.

Sous les cartes, une courbe en cloche colore l'aire choisie. Viennent ensuite un tableau de toutes les aires du z courant (en mode « Entre deux scores », il détaille comment s'obtient l'aire entre les bornes) et trois volets repliés : le calcul pas à pas, la table de la loi normale centrée réduite et les valeurs critiques usuelles. La table va de z = 0,00 à 3,49, à quatre décimales, ne couvre que la moitié positive de la courbe et surligne la case du |z| courant à chaque saisie.

Utiliser le calculateur avec une note de partiel

Inès est en première année de licence de psychologie. Elle a eu 15/20 au partiel de statistiques, pour une moyenne d'amphi de 11 et un écart type de 2,5 : ce sont les valeurs inscrites à l'ouverture de la page.

1. « De la valeur au score z » est sélectionné, « Aire » est sur « À gauche », et les champs « Valeur (x) », « Moyenne (μ) » et « Écart type (σ) » contiennent 15, 11 et 2.5 : le champ écrit la décimale avec un point, et une virgule tapée y devient un point. Trois cartes s'affichent : Score z = +1,6, calculé comme (15 − 11) / 2,5 ; En dessous de 15 = 94,52 % (0,945201) ; Score T = 66. Si les notes de l'amphi suivent une loi normale, 94,52 % des étudiants ont eu moins qu'Inès.

2. Le volet « Le calcul pas à pas » est fermé. Une fois ouvert, il montre « Centrer-réduire : z = (15 − 11) / 2,5 = +1,6 » puis « Aire à gauche : P(Z < 1,6) = Φ(1,6) = 0,945201 (94,52 %) », dans l'ordre d'une résolution à la main.

3. Dans le volet « Table de la loi normale centrée réduite », la ligne 1,6 est surlignée et, sous la colonne 0,00, la case 0,9452 ressort en gras : c'est la même aire arrondie à quatre décimales comme sur une table papier.

4. Avec « Aire » sur « Bilatérale », la carte d'aire devient « Plus loin de la moyenne que 15 = 10,96 % », environ 1 sur 9 : c'est la part de l'amphi située à 1,6 écart type ou plus de la moyenne, sous 7 ou au-dessus de 15.

5. Remettez « Aire » sur « À gauche » et choisissez « Du centile au score z ». Le champ « Centile (% en dessous) » affiche 90, la moyenne et l'écart type restent remplis, et les cartes donnent Score z = +1,2816 et Valeur brute au seuil (x = μ + zσ) = 14,2039 : il fallait environ 14,2/20 pour figurer dans les 10 % du haut de l'amphi.

Exemples chiffrés

Comparer 12/20 en statistiques et 14/20 en anglais

Sacha a 12/20 en statistiques, où la moyenne est de 9 et l'écart type de 3, et 14/20 en anglais, où la moyenne est de 12,5 et l'écart type de 1,5. En statistiques, z = (12 − 9) / 3 = +1 ; en anglais, z = (14 − 12,5) / 1,5 = +1 également. Les deux notes occupent la même position dans leur groupe : 84,13 % des élèves en dessous (0,841345) et un score T de 60.

Les deux notes se valent donc malgré leurs deux points d'écart, parce qu'en anglais les notes de la classe sont deux fois plus serrées : un point y vaut 0,67 écart type, contre 0,33 en statistiques. Pour refaire la comparaison, changez les trois champs de « De la valeur au score z » pour chaque matière et comparez les cartes Score z.

Exercice type : X suit N(500 ; 8²), calculer P(X < 490)

La masse d'un paquet de pâtes, en grammes, suit N(500 ; 8²). Centrer-réduire donne z = (490 − 500) / 8 = -1,25. Sur la table, on lit Φ(1,25) = 0,8944 en ligne 1,2 et colonne 0,05, puis la symétrie donne P(X < 490) = Φ(-1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056.

Dans la page, « De la valeur au score z » avec 490, 500 et 8 affiche Score z = -1,25 et En dessous de 490 = 10,56 % (0,10565). Pour P(X > 490), passez « Aire » sur « À droite » : 89,44 % (0,89435). Dans la table de la page, la ligne 1,2 est surlignée et la case 0,8944, celle de |z| = 1,25, ressort en gras.

Part d'un groupe entre 8,5 et 16 sur 20

Pour un groupe de moyenne 11 et d'écart type 2,5, les bornes 8,5 et 16 correspondent à z = (8,5 − 11) / 2,5 = -1 et z = (16 − 11) / 2,5 = +2 ; « De la valeur au score z » les donne une à une. En mode « Entre deux scores », tapez -1 et 2 dans « Borne inférieure » et « Borne supérieure », dans n'importe quel ordre : la carte affiche P(-1 < Z < 2) = 81,86 % et « En dehors de l'intervalle » 18,14 %.

Le calcul pas à pas montre d'où vient le chiffre : P(Z < -1) = 0,158655 sous la borne basse, P(Z > 2) = 0,0227501 au-dessus de la borne haute, puis 1 − 0,158655 − 0,0227501 = 0,818595. Avec des bornes symétriques, on retrouve la règle 68–95–99,7 : 68,27 % entre -1 et 1, 95,45 % entre -2 et 2 et 99,73 % entre -3 et 3.

Convertir un résultat de bilan exprimé en écarts types (ET)

Un compte rendu de bilan orthophonique ou neuropsychologique peut situer un résultat en écarts types par rapport à l'étalonnage du test : « -1,5 ET » est un score z de -1,5. En mode « Du score z à la probabilité », avec « Aire » sur « À gauche », -1,5 donne 6,68 % : sous une loi normale, 6,68 % des personnes de l'étalonnage obtiennent moins. À -2 ET, la part tombe à 2,28 % ; à -1 ET, elle est de 15,87 %. Le 5e centile correspond à z = -1,6449, que donne « Du centile au score z » avec 5 dans « Centile (% en dessous) ».

Si le test publie une note T, passez « Saisie en » sur « Score T » : 35 équivaut à z = -1,5 et donne la même aire. Pour une échelle de moyenne 100 et d'écart type 15, comme un QI, ou de moyenne 10 et d'écart type 3, comme une note standard, les champs facultatifs « Moyenne (μ) » et « Écart type (σ) » ajoutent la valeur brute : z = -1,5 correspond à 77,5 et à 5,5. Lorsque le manuel de la batterie publie ses propres centiles, ce sont eux qui font foi, car la conversion par la loi normale suppose des scores répartis en cloche.

Correspondances : score z, centile, score T, QI et note standard

Score z (ET)	Centile (% en dessous)	Score T	QI (100 ; 15)	Note standard (10 ; 3)
-3	0,13 %	20	55	1
-2	2,28 %	30	70	4
-1,65	4,95 %	33,5	75,25	5,05
-1,5	6,68 %	35	77,5	5,5
-1	15,87 %	40	85	7
-0,5	30,85 %	45	92,5	8,5
0	50 %	50	100	10
+0,5	69,15 %	55	107,5	11,5
+1	84,13 %	60	115	13
+1,5	93,32 %	65	122,5	14,5
+2	97,72 %	70	130	16
+3	99,87 %	80	145	19

Formule du score z et centrage-réduction

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

$x$ = la valeur étudiée : une note, un score de test ou une mesure
$\mu$ = la moyenne du groupe ou de la loi
$\sigma$ = l'écart type, dans la même unité que x
$z$ = le score z, sans unité : le nombre d'écarts types entre x et la moyenne

Si X suit N(μ ; σ²), la variable centrée réduite Z = (X − μ) / σ suit N(0 ; 1), et toute probabilité sur X se ramène à Φ, la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Pour un intervalle, P(a < X < b) est la différence des deux valeurs de Φ.

P(X<a)=\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)

La courbe est symétrique autour de 0, d'où les aires qui se calculent à partir de |z| seul :

\Phi(-z)=1-\Phi(z)\qquad P(|Z|>|z|)=2\,\big(1-\Phi(|z|)\big)\qquad P(|Z|<|z|)=2\,\Phi(|z|)-1

Dans l'autre sens, une valeur se retrouve à partir de son score z, et le score T n'est qu'un changement d'échelle, de moyenne 50 et d'écart type 10 :

x=\mu+z\,\sigma\qquad T=50+10\,z

Φ n'a pas d'expression avec les fonctions usuelles : le NIST/SEMATECH e-Handbook précise que l'intégrale se calcule numériquement. La page s'appuie sur les approximations de W. J. Cody pour erfc, publiées sur netlib, dont le code annonce en théorie au moins 18 chiffres significatifs, et calcule chaque queue de son propre côté au lieu de faire 1 − Φ, une soustraction qui tombe à 0 dès que Φ(z) s'arrondit à 1 en virgule flottante. Le passage d'un centile au score z utilise l'algorithme AS 241 de M. J. Wichura, exact à environ 1 partie sur 10¹⁶. L'ensemble tourne en double précision, soit environ 16 chiffres significatifs.

Pièges de saisie et de lecture

Mettre la variance à la place de l'écart type — Dans la notation N(μ ; σ²), le second paramètre est la variance. Pour N(20 ; 9), l'écart type vaut 3, et c'est 3 qui va dans « Écart type (σ) ». La fiche loi normale de Casio Éducation suit la même notation sur calculatrice : pour N(90 ; 20), elle fait saisir √20 comme écart type.
Lire « au moins » avec l'aire à gauche — « Au moins 15 » ou « plus de 15 » demandent l'aire à droite. Avec les valeurs par défaut, « À gauche » donne 94,52 % et « À droite » 5,48 % : se tromper de côté donne le complément à 1. Pour une loi continue, l'inégalité large ou stricte ne change rien, P(X ≥ 15) = P(X > 15).
Prendre 2,33 pour un intervalle à 99 % — 2,326 laisse 99 % à gauche mais seulement 98 % au centre. Un niveau de confiance de 99 % demande 2,576, qui laisse 0,5 % dans chaque queue. Les deux lignes figurent dans « Valeurs critiques usuelles » avec leurs parts à gauche, à droite et au centre, et le même décalage sépare 1,645 (95 % à gauche, 90 % au centre) de 1,96 (95 % au centre).
Taper une probabilité dans le champ du centile — « Centile (% en dessous) » attend un pourcentage. Y taper 0,975 demande le centile 0,975 %, soit z = -2,3358, au lieu du 97,5e centile ; la page le signale par la ligne « Ce champ attend un pourcentage : pour une probabilité de 0,975, tapez 97,5. »
Arrondir z trop tôt — Arrondir 1,645 à 1,6 fait lire 0,9452 dans la table au lieu d'environ 0,95, près d'un demi-point d'écart. Gardez deux décimales pour lire la table, ou tapez le z complet dans « Du score z à la probabilité », qui le prend tel quel.

Ce que le calcul suppose

Toutes les parts de la page viennent du modèle normal, qui n'est qu'une approximation d'un vrai groupe. Avec 30 copies, chaque étudiant pèse 3,33 % du groupe : la part réelle sous une note avance par pas de 3,33 % (90 %, 93,33 %, 96,67 %) et ne tombe jamais sur 94,52 %. Les notes sur 20 sont aussi bornées : dans une promo à 11 de moyenne et 2,5 d'écart type, 20/20 correspond à z = +3,6, et la courbe continue au-delà, là où aucune note n'existe. Un sujet trop facile tasse les notes vers le haut et rend la courbe asymétrique ; les centiles calculés deviennent alors des ordres de grandeur.

Le score z dépend de l'écart type saisi, et deux façons de le calculer sur la même liste donnent deux z un peu différents. Si vous partez d'une liste de notes, le calculateur d'écart type fournit la moyenne et σ à reporter ici.

La page ne fait pas de test statistique : elle calcule l'aire bilatérale d'un z mais ne conclut pas au rejet ou non d'une hypothèse. Elle ne calcule pas non plus la loi de Student, qui remplace la loi normale quand l'écart type est estimé sur un petit échantillon, ni l'intervalle de confiance d'une moyenne.

Questions fréquentes sur le score z et la loi normale

Comment calculer un score z ?

Retranchez la moyenne à la valeur, puis divisez par l'écart type : z = (x − μ) / σ. Pour 15 avec une moyenne de 11 et un écart type de 2,5, z = 4 / 2,5 = +1,6. Le mode « De la valeur au score z » fait l'opération et donne en plus le centile.

Que signifie un score z négatif ?

La valeur est sous la moyenne. Un z de -1 la place un écart type en dessous : sous une loi normale, 15,87 % des valeurs sont encore plus basses. Dans une promo de moyenne 11 et d'écart type 2,5, c'est la note de 8,5.

Comment lire la table de la loi normale pour un z négatif ?

La table ne donne que les z positifs : lisez Φ(|z|), puis appliquez Φ(−z) = 1 − Φ(z). Pour z = -0,84, la ligne 0,8 et la colonne 0,04 donnent Φ(0,84) = 0,7995, donc Φ(-0,84) = 1 − 0,7995 = 0,2005. La légende de la table de cette page rappelle la règle, et le mode « Du score z à la probabilité » donne directement 0,200454 pour -0,84.

Je ne trouve pas 0,95 dans la table : quel z prendre ?

0,95 tombe entre deux cases de la ligne 1,6 : 0,9495 en colonne 0,04 et 0,9505 en colonne 0,05. D'où le 1,645 de la ligne correspondante des valeurs critiques usuelles, à mi-chemin. En mode « Du centile au score z », avec 95 dans « Centile (% en dessous) », la page donne +1,6449 et surligne la case 1,64 de la table.

Quel score z correspond au 90e centile ?

+1,2816. C'est le résultat affiché à l'ouverture du mode « Du centile au score z », qui propose 90 par défaut. Sur une table papier, 0,90 se situe entre 0,8997 (z = 1,28) et 0,9015 (z = 1,29).

Pourquoi 1,96 pour un intervalle à 95 % ?

Φ(1,96) = 0,975002 : il reste 2,5 % au-dessus de +1,96 et, par symétrie, 2,5 % sous -1,96, donc 95 % entre les deux. Dans « Du centile au score z », « Aire » sur « Centrale » avec 95 renvoie ±1,96, et la ligne 1,960 des valeurs critiques usuelles affiche 97,5 %, 2,5 % et 95 %. Pour un niveau de 90 %, le seuil est 1,645.

Comment passer d'une loi N(μ ; σ²) à la loi normale centrée réduite ?

Posez Z = (X − μ) / σ : Z suit N(0 ; 1), et P(X < a) = Φ((a − μ) / σ). Si X suit N(100 ; 15²), P(X < 130) = Φ((130 − 100) / 15) = Φ(2) = 0,97725, soit 97,72 %. Dans la page, cela revient au mode « De la valeur au score z » avec 130, 100 et 15.

Score z et score T : quelle différence ?

Le score T est un score z changé d'échelle : T = 50 + 10 × z, soit une moyenne de 50 et un écart type de 10, sans valeurs négatives en pratique. z = +1,6 donne T = 66 et z = -1,5 donne T = 35. Le t de Student est une autre grandeur, calculée avec un écart type estimé sur un échantillon ; le T-score d'une ostéodensitométrie aussi, puisqu'il compare une densité osseuse à celle d'un jeune adulte en bonne santé du même sexe. Sur cette page, basculer « Saisie en » convertit le nombre déjà tapé : en mode « Du score z à la probabilité », 1,96 devient 69,6.

La cote Z des universités québécoises, est-ce le même calcul ?

La formule de départ est la même : l'écart à la moyenne du groupe divisé par l'écart type. D'après Wikipédia (« Cote Z (statistiques) »), les universités québécoises ont sélectionné les candidats avec cette cote jusqu'en 1994, puis l'ont remplacée par la cote R, qui tient compte de la force relative du groupe. Cette page calcule le score z statistique et ses aires sous la loi normale ; elle ne calcule pas la cote R.

Puis-je calculer ici le score z d'IMC d'un enfant ?

Non. Pour l'IMC d'un enfant, l'OMS publie des références par sexe et par âge (de 5 à 19 ans pour l'IMC pour l'âge), en scores z et en centiles, avec leur propre notice de calcul. Une moyenne et un écart type uniques, comme ceux que demande cette page, ne les reproduisent pas : utilisez les courbes de l'OMS ou celles de votre médecin.

À partir de quel score z une valeur est-elle aberrante ?

Aucun seuil ne vaut partout. Sous une loi normale, 4,55 % des valeurs ont |z| > 2 et 0,27 % ont |z| > 3 : sur 1 000 mesures sans la moindre anomalie, près de 3 dépassent donc ±3. Un z élevé désigne une valeur à vérifier (erreur de saisie, mesure venue d'une autre population) avant de décider de la garder. Avec « Aire » sur « Bilatérale », la page donne cette part pour n'importe quel z.

Mon écart type vient d'un échantillon : la formule change-t-elle ?

Non, saisissez s dans « Écart type (σ) » et gardez z = (x − μ) / σ. Sur 10 notes, s dépasse d'environ 5 % l'écart type calculé en divisant par n (facteur √(10/9) ≈ 1,054), et |z| diminue d'autant.

Comment vérifier le résultat sur une calculatrice Casio ?

Sur les Graph 35+E II et Graph 90+E, la fiche de Casio Éducation passe par DIST puis NORM. Ncd prend la borne inférieure, la borne supérieure, l'écart type puis la moyenne : pour P(X < 490) avec N(500 ; 8²), saisissez -10^99, 490, 8 et 500, et vous obtenez environ 0,10565, comme la page. InvN fait le chemin inverse à partir d'une probabilité, d'un écart type et d'une moyenne.

Quelle précision attendre des chiffres affichés ?

Les probabilités sont données avec 6 chiffres significatifs (0,945201), le score z avec au plus 4 décimales et le score T avec au plus 1 décimale. Les pourcentages ont d'ordinaire 2 décimales ; près des queues, la page en ajoute plutôt que d'afficher 0, et la part au-dessus de z = 4 s'écrit 0,0032 %. Les calculs se font en double précision, environ 16 chiffres significatifs, bien au-delà d'une table à 4 décimales.

Ce calculateur de score z est-il gratuit ?

Oui, sans compte ni inscription. L'adresse de la page garde les valeurs modifiées : un lien partagé rouvre le même calcul, et le bouton d'intégration l'affiche sur un autre site.

Sources et références

Contenu verifie par Smart Calculators

Calculateur de score z

Toutes les aires pour z = +1,6

Le calcul pas à pas

Table des scores T : part supérieure et rang sur 1 000

Table de la loi normale centrée réduite

Valeurs critiques usuelles

Calculateur de score z. Probabilité, centile et seuil sous la loi normale centrée réduite.

Qu'est-ce qu'un score z ?

Utiliser le calculateur avec une note de partiel

Exemples chiffrés

Comparer 12/20 en statistiques et 14/20 en anglais

Exercice type : X suit N(500 ; 8²), calculer P(X < 490)

Part d'un groupe entre 8,5 et 16 sur 20

Convertir un résultat de bilan exprimé en écarts types (ET)

Correspondances : score z, centile, score T, QI et note standard

Formule du score z et centrage-réduction

Pièges de saisie et de lecture

Ce que le calcul suppose

Questions fréquentes sur le score z et la loi normale

Comment calculer un score z ?

Que signifie un score z négatif ?

Comment lire la table de la loi normale pour un z négatif ?

Je ne trouve pas 0,95 dans la table : quel z prendre ?

Quel score z correspond au 90e centile ?

Pourquoi 1,96 pour un intervalle à 95 % ?

Comment passer d'une loi N(μ ; σ²) à la loi normale centrée réduite ?

Score z et score T : quelle différence ?

La cote Z des universités québécoises, est-ce le même calcul ?

Puis-je calculer ici le score z d'IMC d'un enfant ?

À partir de quel score z une valeur est-elle aberrante ?

Mon écart type vient d'un échantillon : la formule change-t-elle ?

Comment vérifier le résultat sur une calculatrice Casio ?

Quelle précision attendre des chiffres affichés ?

Ce calculateur de score z est-il gratuit ?

Sources et références

Table des scores T : part supérieure et rang sur 1 000