Μετατροπέας Γωνίας

Μετατρέψτε ανάμεσα σε μονάδες επίπεδης γωνίας του SI και ιστορικές (ακτίνιο, χιλιοστοακτίνιο, μοίρα, βαθμός gon, στροφή, πρώτο λεπτό της μοίρας, δεύτερο λεπτό της μοίρας) με βάση τον ορισμό του ακτινίου από το Brochure SI της BIPM.

Από

Τιμή

Σε

Αποτέλεσμα

0,0174533 rad

1 °≈ 0,017453 rad

Δεκαδικά

Όλες οι μονάδες

Μονάδα	Τιμή
Ακτίνιο (rad)	0,0174533
Χιλιοστοακτίνιο (mrad)	17,4533
Μοίρα (°)	1
Βαθμός (gon) (gon)	1,11111
Στροφή (tr)	0,00277778
Πρώτο λεπτό της μοίρας (arcmin)	60
Δεύτερο λεπτό της μοίρας (arcsec)	3.600

Μετατροπέας Πίεσης Μετατροπέας Ενέργειας

Ενημερώθηκε: 20 Μαΐου 2026

Μετατροπέας γωνίας. Μοίρες, ακτίνια, βαθμοί και πρώτα/δεύτερα λεπτά τόξου με ορισμούς κατά BIPM.

Ο μετατροπέας γωνίας μετατρέπει τιμές ανάμεσα σε ακτίνια, μοίρες, βαθμούς (gon), στροφές, mrad και πρώτα/δεύτερα λεπτά τόξου, με ορισμούς κατά BIPM. Σημαίνει κάθε αποτέλεσμα ως ακριβές ή κατά προσέγγιση, ώστε μαθητές της τριγωνομετρίας, τοπογράφοι, αστρονόμοι και σκοπευτές να ξεχωρίζουν τις μετατροπές πεπερασμένου δεκαδικού από εκείνες που εμπλέκουν π και στρογγυλοποιούνται από τη διπλή ακρίβεια IEEE-754.

Τι Είναι ο Μετατροπέας Γωνίας;

Ο μετατροπέας γωνίας είναι ένα εργαλείο που δέχεται μια μέτρηση επίπεδης γωνίας σε μία μονάδα και επιστρέφει την ισοδύναμη τιμή σε οποιαδήποτε άλλη υποστηριζόμενη μονάδα. Λειτουργεί δρομολογώντας κάθε μετατροπή μέσω μίας βασικής μονάδας, του ακτινίου, χρησιμοποιώντας τον ορισμένο συντελεστή κάθε μονάδας: 1 χιλιοστοακτίνιο είναι ακριβώς 10⁻³ rad, 1 στροφή είναι 2π rad, 1 μοίρα είναι π/180 rad, 1 βαθμός (gon) είναι π/200 rad, 1 πρώτο λεπτό τόξου είναι π/10.800 rad και 1 δεύτερο λεπτό τόξου είναι π/648.000 rad. Το ίδιο το ακτίνιο είναι η συνεκτική παράγωγη μονάδα SI για την επίπεδη γωνία, ορισμένη στο Φυλλάδιο SI της BIPM §2.3.4 ως η γωνία που σχηματίζεται στο κέντρο ενός κύκλου από τόξο με μήκος ίσο με την ακτίνα. Οι ίδιοι ορισμοί επίπεδης γωνίας εμφανίζονται στο πρότυπο ISO 80000-3:2019 (Μεγέθη και μονάδες, Μέρος 3 — δείτε τις πηγές στο τέλος της σελίδας).

Αυτός ο μετατροπέας υποστηρίζει επτά μονάδες σε τρεις ομάδες. Η ομάδα SI καλύπτει το ακτίνιο και το χιλιοστοακτίνιο (1 mrad = 10⁻³ rad), που χρησιμοποιούνται στη φυσική και τη μηχανική. Η κοινή ομάδα καλύπτει τη μοίρα (βαβυλωνιακή εξηκονταδική προέλευση, χρήση στην καθημερινή γεωμετρία, στο σχολικό μάθημα της τριγωνομετρίας, στο CAD, στη ναυσιπλοΐα και στο ελληνικό κτηματολόγιο), τον βαθμό ή gon (γαλλική μετρική του 1793, ακόμη σε χρήση σε ευρωπαϊκή κτηματολογική τοπογραφία και σε γεωδαιτικούς σταθμούς ευρωπαϊκής κατασκευής — 400 gon = 1 στροφή, με ορθή γωνία ακριβώς 100 gon) και τη στροφή (μία πλήρης περιστροφή = 2π rad = 360° = 400 gon, που χρησιμοποιείται στη μηχανική περιστροφής και στις προδιαγραφές σερβοκινητήρων). Η επιστημονική ομάδα καλύπτει το πρώτο και το δεύτερο λεπτό τόξου, τις εξηκονταδικές υποδιαιρέσεις που χρησιμοποιούνται στην αστρονομία και την ακριβή ναυσιπλοΐα: το διαστημικό τηλεσκόπιο Hubble διακρίνει περίπου 0,05 δευτερόλεπτα τόξου, το NIRCam του τηλεσκοπίου James Webb φτάνει τα 0,07 δευτερόλεπτα τόξου στα 2 μm (όριο περίθλασης) και ένα υγιές ανθρώπινο μάτι μόλις διακρίνει ένα λεπτό της μοίρας σε απόσταση ανάγνωσης.

Αυτό που ξεχωρίζει έναν σοβαρό μετατροπέα γωνίας από ένα διαφημιστικό widget είναι η ειλικρίνεια ως προς την ακρίβεια. Ο συντελεστής 1 rad ≈ 57,2958° δεν είναι ακριβής· είναι μια στρογγυλοποίηση έξι σημαντικών ψηφίων του 180/π = 57,29577951308232…, που είναι άρρητο επειδή το π είναι άρρητο. Η ακριβής σχέση τρέχει αντίστροφα: 1° = π/180 rad εξ ορισμού. Ο υπολογιστής σημαίνει το ζεύγος rad↔mrad με ετικέτα «ακριβές» επειδή και οι δύο μονάδες σημαίνονται ως ακριβείς στα δεδομένα πηγής, αλλά σημαίνει κάθε μετατροπή που εμπλέκει μοίρα, βαθμό, στροφή, πρώτο ή δεύτερο λεπτό τόξου ως κατά προσέγγιση — όχι επειδή οι υποκείμενοι μαθηματικοί ορισμοί είναι ασαφείς (είναι bit-exact σε συμβολική μορφή), αλλά επειδή το π δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ακριβώς ως διπλή ακρίβεια IEEE-754, οπότε κάθε π-εξαρτώμενος συντελεστής σε 64-bit κινητή υποδιαστολή κουβαλά λίγα ulps αναπαραστατικής απόκλισης. Η σήμανση λέει την αλήθεια: μοίρα↔ακτίνιο είναι εξ ορισμού ακριβές, υπολογιστικά κατά προσέγγιση.

Πώς να Μετατρέψετε Μεταξύ Μονάδων Γωνίας

Κάθε μετατροπή γωνίας είναι ένας πολλαπλασιασμός και μία διαίρεση μέσω του ακτινίου. Ο γενικός τύπος είναι:

y = x \cdot \frac{a_{\text{from}}}{a_{\text{to}}}

όπου $x$ είναι η τιμή εισόδου, $a_\text{from}$ ο συντελεστής της μονάδας προέλευσης ως προς το ακτίνιο και $a_\text{to}$ ο συντελεστής της μονάδας προορισμού ως προς το ακτίνιο. Για να γίνει χειροκίνητα:

1. Αναζητήστε τον συντελεστή προέλευσης-σε-ακτίνιο. Για μοίρες, $a_\text{from} = \pi/180 \approx 0{,}01745329$.

2. Πολλαπλασιάστε την είσοδο με αυτόν τον συντελεστή για να βρείτε ακτίνια. 90° × π/180 = π/2 rad ≈ 1,5707963 rad.

3. Αναζητήστε τον συντελεστή προορισμού-σε-ακτίνιο. Για βαθμούς (gon), $a_\text{to} = \pi/200 \approx 0{,}01570796$.

4. Διαιρέστε την τιμή σε ακτίνια με τον συντελεστή προορισμού. (π/2) ÷ (π/200) = 100 gon (το π απαλείφεται, δίνοντας την ακριβή ρητή απάντηση).

Η ίδια διαδικασία λειτουργεί για κάθε υποστηριζόμενη μονάδα. Από δεύτερα λεπτά τόξου σε ακτίνια: 1″ × π/648.000 ≈ 4,848137 × 10⁻⁶ rad. Από στροφές σε μοίρες: 0,25 tr × 2π rad/tr ÷ (π/180 rad/°) = 90° (πάλι το π απαλείφεται). Από χιλιοστοακτίνια σε MOA (πρώτα λεπτά τόξου): 1 mrad × 10⁻³ rad/mrad ÷ (π/10.800 rad/′) = 10.800 / (1.000 π) ≈ 3,4377 MOA — η κανονική βαλλιστική μετατροπή για διόπτρες σκοπευτικών όπλων.

Για να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον υπολογιστή, επιλέξτε τη μονάδα προέλευσης από τη λίστα «Από», πληκτρολογήστε μια τιμή και επιλέξτε τη μονάδα προορισμού από τη λίστα «Σε». Το αποτέλεσμα ενημερώνεται σε κάθε πληκτρολόγηση. Κάντε κλικ στην κάρτα αποτελέσματος για να το αντιγράψετε στο πρόχειρο. Χρησιμοποιήστε τον επιλογέα ακρίβειας για να επιλέξετε αυτόματη (6 σημαντικά ψηφία) ή σταθερά 0, 2, 4, 6, 10 ή 15 δεκαδικά. Η αυτόματη ακρίβεια μεταβαίνει σε επιστημονικό συμβολισμό όταν το αποτέλεσμα ξεπερνά τα 10¹² (ένα τρισεκατομμύριο) ή πέφτει κάτω από τα 10⁻³, ώστε η μετατροπή ενός αστρονομικού δευτερολέπτου τόξου σε στροφές να παραμένει αναγνώσιμη. Η σήμανση «ακριβές» εμφανίζεται μόνο για το ζεύγος rad↔mrad, επειδή αυτή είναι η μοναδική μετατροπή σε αυτό το σύνολο που δεν περνά μέσα από το π στην αναπαράσταση IEEE-754 διπλής ακρίβειας.

Τύπος Μετατροπής Γωνίας

y = x \cdot \frac{a_{\text{from}}}{a_{\text{to}}}

$y$ = Η μετατρεπόμενη τιμή, εκφρασμένη στη μονάδα προορισμού επίπεδης γωνίας.
$x$ = Η τιμή εισόδου, εκφρασμένη στη μονάδα προέλευσης επίπεδης γωνίας.
$a_{\text{from}}$ = Συντελεστής που μετατρέπει τη μονάδα προέλευσης σε ακτίνια (π.χ. π/180 για μοίρες, π/200 για βαθμούς, 2π για στροφές, 10⁻³ για χιλιοστοακτίνια).
$a_{\text{to}}$ = Συντελεστής που μετατρέπει τη μονάδα προορισμού σε ακτίνια (π.χ. π/10.800 για πρώτα λεπτά τόξου, π/648.000 για δεύτερα λεπτά τόξου).

Ο τύπος είναι μια διπλή πράξη με άξονα το ακτίνιο, τη συνεκτική παράγωγη μονάδα SI για την επίπεδη γωνία (Φυλλάδιο SI της BIPM §2.3.4). Ο πίνακας συντελεστών που χρησιμοποιεί ο υπολογιστής προέρχεται απευθείας από το Φυλλάδιο SI της BIPM (το αντίστοιχο πρότυπο ISO 80000-3 παρατίθεται στις πηγές στο τέλος):

Ακτίνιο (rad): 1 rad (συνεκτική παράγωγη μονάδα SI, ακριβές)
Χιλιοστοακτίνιο (mrad): 10⁻³ rad (πρόθεμα SI, ακριβές)
Μοίρα (°): π/180 rad ≈ 0,0174532925199433 rad (ακριβής ορισμός· αναπαραστατική απόκλιση σε IEEE-754)
Βαθμός (gon): π/200 rad ≈ 0,0157079632679490 rad (ακριβής ορισμός· 400 gon = 1 στροφή)
Στροφή (tr): 2π rad ≈ 6,283185307179586 rad (ακριβής ορισμός· 1 tr = 360° = 400 gon)
Πρώτο λεπτό τόξου (′, arcmin): π/10.800 rad ≈ 2,908882086657216 × 10⁻⁴ rad (= 1°/60, ακριβής ορισμός)
Δεύτερο λεπτό τόξου (″, arcsec): π/648.000 rad ≈ 4,848136811095360 × 10⁻⁶ rad (= 1°/3.600, ακριβής ορισμός)

Για την κατεύθυνση μοίρα → ακτίνιο ο υπολογιστής υπολογίζει 1° × π/180 ≈ 0,0174532925199433 rad. Το αποτέλεσμα είναι μαθηματικά ακριβές (1° = π/180 rad εξ ορισμού) αλλά αποθηκεύεται σε 64-bit double, οπότε τα τελευταία ψηφία είναι μια στρογγυλοποίηση του άρρητου π. Η αντίστροφη κατεύθυνση 1 rad → μοίρες δίνει 180/π ≈ 57,2957795130823°, άρρητο επίσης επειδή το π είναι άρρητο. Οι μετατροπές που παραμένουν εντός της ομάδας SI (rad ↔ mrad) είναι bit-exact και κερδίζουν τη σήμανση «ακριβές»· οτιδήποτε άλλο σημαίνεται ως κατά προσέγγιση ως αληθινή ετικέτα της αναπαράστασης IEEE-754, όχι του μαθηματικού ορισμού.

Λυμένα Παραδείγματα Μετατροπής Γωνίας

90 μοίρες σε ακτίνια (κανονική τριγωνομετρία Β΄ Λυκείου)

Ορίστε Από = Μοίρα, Σε = Ακτίνιο, Τιμή = 90. Ο τύπος δίνει 90 × π/180 = π/2 rad ≈ 1,5707963 rad στην αυτόματη ακρίβεια. Ορίστε ακρίβεια στα 15 δεκαδικά για να δείτε 1,570796326794897 rad — την πλήρη μαντίσσα IEEE-754 για το π/2. Είναι η μετατροπή που κάνει κάθε μαθητής Β΄ Λυκείου με την πρώτη επαφή με ακτίνια στο κεφάλαιο Τριγωνομετρίας της Άλγεβρας: η ταυτότητα ημ(π/2) = 1 σε ακτίνια είναι η ίδια δήλωση με την ημ(90°) = 1 σε μοίρες, αλλά μόνο η μορφή σε ακτίνια κάνει τις σειρές Taylor και τις παραγώγους να λειτουργούν χωρίς πρόσθετο παράγοντα π/180 σε κάθε γραμμή. Το αποτέλεσμα σημαίνεται ως κατά προσέγγιση επειδή το π/2 είναι άρρητο και κάθε 64-bit double είναι στρογγυλοποίηση.

1 mrad σε MOA (διόπτρες τυφεκίου, σκοπευτές μεγάλης απόστασης)

Ορίστε Από = Χιλιοστοακτίνιο, Σε = Πρώτο λεπτό τόξου, Τιμή = 1. Ο τύπος δίνει 1 mrad × 10⁻³ rad/mrad ÷ (π/10.800 rad/′) = 10.800 / (1.000π) ≈ 3,4377 arcmin (MOA). Στα 100 γυάρδες, 1 MOA καλύπτει περίπου 1,047 ίντσες και 1 mrad καλύπτει περίπου 3,6 ίντσες — οπότε 1 mrad ≈ 3,44 MOA μετακίνησης σημείου σκόπευσης. Γι' αυτό οι σκοπευτές μεγάλης απόστασης ανακατεύουν τις δύο μονάδες: ένα reticle σημαδεμένο σε mrad διαβάζει 0,1 mrad ανά click (τυπικά), που ισοδυναμεί με περίπου 0,344 MOA ανά click — πιο λεπτό από τις συνηθισμένες διόπτρες ¼-MOA-ανά-click που χρησιμοποιούνται στο κυνήγι. Και τα δύο άκρα εμπλέκουν το π, οπότε η μετατροπή σημαίνεται ως κατά προσέγγιση παρότι οι υποκείμενοι ορισμοί είναι ακριβείς.

1 στροφή σε μοίρες, βαθμούς και ακτίνια

Ορίστε Από = Στροφή, Σε = Μοίρα, Τιμή = 1. Ο τύπος δίνει 1 tr × 2π rad/tr ÷ (π/180 rad/°) = 360° (το π απαλείφεται). Αλλάζοντας Σε = Βαθμός παίρνετε 2π / (π/200) = 400 gon. Αλλάζοντας Σε = Ακτίνιο παίρνετε 2π ≈ 6,2831853 rad. Οι πρώτες δύο μετατροπές είναι ακριβείς ρητές (το άρρητο π απαλείφεται στον λόγο)· η τρίτη είναι άρρητη και σημαίνεται ως κατά προσέγγιση. Είναι η σχολική απόδειξη ότι 1 πλήρης περιστροφή = 360° = 400 gon = 2π rad — η ίδια γωνία μετρημένη με τρεις τρόπους. Οι σερβοκινητήρες και οι περιστροφικοί κωδικοποιητές προδιαγράφονται συνήθως σε στροφές ή κλάσματα της στροφής· τα προγράμματα CAD μιλούν μοίρες· η φυσική μιλά ακτίνια.

1 δευτερόλεπτο τόξου σε ακτίνια (αστρονομία κλίμακας Hubble)

Ορίστε Από = Δεύτερο λεπτό τόξου, Σε = Ακτίνιο, Τιμή = 1. Ο τύπος δίνει 1″ × π/648.000 ≈ 4,84814 × 10⁻⁶ rad (≈ 4,85 μrad). Η αυτόματη ακρίβεια μεταβαίνει σε επιστημονικό συμβολισμό επειδή το αποτέλεσμα είναι κάτω από 10⁻³. Το διαστημικό τηλεσκόπιο Hubble διακρίνει περίπου 0,05 δευτερόλεπτα τόξου, δηλαδή 2,42 × 10⁻⁷ rad· το NIRCam του τηλεσκοπίου James Webb φτάνει τα 0,07 δευτερόλεπτα τόξου στα 2 μm (όριο περίθλασης). Συγκριτικά, το γυμνό ανθρώπινο μάτι μόλις διακρίνει ένα πρώτο λεπτό της μοίρας (≈ 2,91 × 10⁻⁴ rad). Για ένα τυπικό ελληνικό ερασιτεχνικό τηλεσκόπιο 8 ιντσών ο τύπος Dawes δίνει ω ≈ 4,56/8 = 0,57 arcsec — αρκετό για να αναλύσει διπλά αστέρια όπως ο Αλκόρ-Μιζάρ στη Μεγάλη Άρκτο. Η αστρική παράλλαξη — η βάση του παρσέκ — χρησιμοποιεί δευτερόλεπτα τόξου ως γωνιακή βάση: το παρσέκ είναι η απόσταση στην οποία 1 αστρονομική μονάδα φαίνεται κάτω από γωνία 1 δευτερολέπτου τόξου.

100 gon σε μοίρες (γαλλική κτηματολογική τοπογραφία)

Ορίστε Από = Βαθμός, Σε = Μοίρα, Τιμή = 100. Ο τύπος δίνει 100 × (π/200) ÷ (π/180) = 100 × 180/200 = 90° (το π απαλείφεται, ακριβής ρητή απάντηση). Μια ορθή γωνία στο εξηκονταδικό σύστημα είναι ακριβώς 100 gon — γι' αυτό ακριβώς η μετα-επαναστατική Γαλλία επινόησε τη μονάδα το 1793. Γαλλικές και ελβετικές κτηματολογικές τοπογραφίες, τοπογραφικοί χάρτες και θεοδόλιχοι κατασκευασμένοι πριν από τη δεκαετία του 1990 διαβάζουν συχνά σε gon, επειδή το ένα τέταρτο της περιφέρειας διαιρείται σε 100 ίσα μέρη αντί για 90, καθιστώντας τις δεκαδικές υποδιαιρέσεις πιο καθαρές. Στην Ελλάδα οι σύγχρονοι γεωδαιτικοί σταθμοί (total station) ευρωπαϊκής κατασκευής επιτρέπουν εναλλαγή ανάμεσα σε μοίρες και βαθμούς (gon), αλλά τα ελληνικά τοπογραφικά διαγράμματα που υποβάλλονται στο Κτηματολόγιο εκφράζουν τις γωνίες σε μοίρες· ο βαθμός εμφανίζεται μόνο στα μετρητικά δελτία υπαίθρου ορισμένων ηλικιωμένων οργάνων.

Συγκριτικός πίνακας: 1 μονάδα σε ακτίνια

Μονάδα	Σύμβολο	Τιμή σε ακτίνια	Ακριβές;
Ακτίνιο	rad	1	ναι
Χιλιοστοακτίνιο	mrad	1 × 10⁻³	ναι
Δεύτερο λεπτό τόξου	″	π/648.000 ≈ 4,848 × 10⁻⁶	εξ ορισμού, στρογγυλοποιημένο σε IEEE-754
Πρώτο λεπτό τόξου	′	π/10.800 ≈ 2,909 × 10⁻⁴	εξ ορισμού, στρογγυλοποιημένο σε IEEE-754
Βαθμός	gon	π/200 ≈ 0,01571	εξ ορισμού, στρογγυλοποιημένο σε IEEE-754
Μοίρα	°	π/180 ≈ 0,01745	εξ ορισμού, στρογγυλοποιημένο σε IEEE-754
Στροφή	tr	2π ≈ 6,28319	εξ ορισμού, στρογγυλοποιημένο σε IEEE-754

Χρησιμοποιήστε τον πίνακα για χειροκίνητες μετατροπές: διαιρέστε την προέλευση-σε-ακτίνια με τον προορισμό-σε-ακτίνια. Παράδειγμα: 1 στροφή σε δευτερόλεπτα τόξου = 2π / (π/648.000) = 2 × 648.000 = 1.296.000″ (ένας πλήρης κύκλος έχει ακριβώς 1.296.000 δευτερόλεπτα τόξου, ακέραιος ακριβής, επειδή το π απαλείφεται).

Συχνότερες μετατροπές γωνίας

Τα ζεύγη μονάδων που αναζητούν περισσότερο οι Έλληνες χρήστες — από μαθητές τριγωνομετρίας έως τοπογράφους κτηματολογίου. Χρησιμοποιήστε τα ως γρήγορη αναφορά ή εισαγάγετε την τιμή στον υπολογιστή για ακριβές αποτέλεσμα έως 15 δεκαδικών.

Μοίρες σε ακτίνια: 1° ≈ 0,017453 rad (ακριβές: π/180)
Ακτίνια σε μοίρες: 1 rad ≈ 57,29578° (ακριβές: 180/π)
Στροφή σε ακτίνια: 1 tr = 2π rad ≈ 6,28319 rad
Στροφή σε μοίρες: 1 tr = 360° (ακριβές)
Στροφή σε βαθμούς: 1 tr = 400 gon (ακριβές)
Μοίρες σε βαθμούς: 1° = 10/9 gon ≈ 1,11111 gon (ακριβής ρητός)
Βαθμοί σε μοίρες: 1 gon = 9/10° = 0,9° (ακριβές)
Μοίρες σε πρώτα λεπτά τόξου: 1° = 60′ (ακριβές, εξ ορισμού)
Πρώτα λεπτά τόξου σε δεύτερα λεπτά τόξου: 1′ = 60″ (ακριβές)
Μοίρες σε δεύτερα λεπτά τόξου: 1° = 3.600″ (ακριβές)
Χιλιοστοακτίνια σε MOA (πρώτα λεπτά τόξου): 1 mrad ≈ 3,43775 arcmin
MOA σε χιλιοστοακτίνια: 1 arcmin ≈ 0,29089 mrad
Δευτερόλεπτο τόξου σε μικροακτίνια: 1″ ≈ 4,84814 μrad
Πλήρης κύκλος σε δευτερόλεπτα τόξου: 1 tr = 1.296.000″ (ακέραιος ακριβής)

Συμβουλές για Μετατροπές Γωνίας

Δρομολογήστε μέσω του ακτινίου. Κάθε μετατροπή σε αυτό το εργαλείο υλοποιείται ως «είσοδος × συντελεστής-από ÷ συντελεστή-σε», με άξονα το ακτίνιο. Αποστηθίστε έξι συντελεστές για να έχετε δωρεάν κάθε διασταυρούμενη μετατροπή: μοίρα (π/180), βαθμός (π/200), στροφή (2π), πρώτο λεπτό τόξου (π/10.800), δεύτερο λεπτό τόξου (π/648.000) και χιλιοστοακτίνιο (10⁻³).
Διαβάστε τη σήμανση «ακριβές» ως δήλωση για το IEEE-754, όχι για τα μαθηματικά. Η σχέση 1° = π/180 rad είναι μαθηματικά ακριβής εξ ορισμού. Η σήμανση εμφανίζεται μόνο στο ζεύγος rad↔mrad επειδή είναι το μοναδικό ζεύγος σε αυτό το σύνολο που δεν πολλαπλασιάζει ή διαιρεί με π σε κινητή υποδιαστολή 64 bit. Κάθε μετατροπή που αγγίζει μοίρα, βαθμό, στροφή, πρώτο ή δεύτερο λεπτό τόξου σημαίνεται ως κατά προσέγγιση για να αναφέρει ειλικρινά την αναπαραστατική απόκλιση λίγων ulps — όχι επειδή ο υποκείμενος ορισμός είναι ασαφής.
Για διόπτρες τυφεκίου θυμηθείτε τη μετατροπή mil-εναντίον-MOA. 1 mrad ≈ 3,4377 arcmin (MOA) και 1 arcmin ≈ 0,2909 mrad. Στα 100 γυάρδες, 1 MOA καλύπτει περίπου 1,047 ίντσες· 1 mrad καλύπτει περίπου 3,6 ίντσες. Οι περισσότερες διόπτρες με reticle σε mrad έχουν click 0,1 mrad· οι περισσότερες σε MOA έχουν click ¼ MOA. Το click σε mrad είναι πιο λεπτό (≈ 0,344 MOA ισοδύναμα) — χρήσιμο σε εκτεταμένες αποστάσεις, λιγότερο πρακτικό σε κοντινές όπου το click είναι κάτω από μία ίντσα. Στους ελληνικούς σκοπευτικούς συλλόγους και στις σχολές κυνηγιού αυτή η μετατροπή είναι καθημερινή.
Χρησιμοποιήστε ακτίνια για κάθε τύπο λογισμού ή φυσικής. Η παράγωγος του ημ(x) ισούται με συν(x) μόνο όταν το x είναι σε ακτίνια· σε μοίρες προσθέτετε παράγοντα π/180 που χαλάει τις σειρές Taylor και τις περισσότερες διαφορικές εξισώσεις. Το λογισμικό CAD δέχεται συνήθως μοίρες στο περιβάλλον χρήστη αλλά μετατρέπει εσωτερικά σε ακτίνια για τους τριγωνομετρικούς πυρήνες — γι' αυτό η εισαγωγή 0,523599 (≈ π/6) δίνει το ίδιο αποτέλεσμα με την εισαγωγή 30°.
Χρησιμοποιήστε σύστημα μοίρες-πρώτα-δεύτερα (DMS) για ναυσιπλοΐα και τοπογραφία, δεκαδικές μοίρες για λογισμικό. Οι χάρτες και οι θεοδόλιχοι ακόμη τυπώνουν 38° 35′ 15″, αλλά κάθε πακέτο GIS και κάθε σύστημα κτηματολογίου ζητάει τη δεκαδική μορφή 38,5875°. Η μετατροπή είναι απλή: δεκαδικές μοίρες = μοίρες + πρώτα/60 + δεύτερα/3.600. Αυτός ο υπολογιστής δεν αναλύει συμβολοσειρές DMS απευθείας — μετατρέψτε κάθε μέρος στο δεκαδικό ισοδύναμο μοιρών και προσθέστε, ή επικολλήστε χωριστά κάθε τιμή σε arcmin/arcsec.
Προσέξτε το NATO mil εναντίον του αληθινού χιλιοστοακτινίου. Ένα αληθές χιλιοστοακτίνιο είναι ακριβώς 1/1.000 rad και δίνει 2.000π ≈ 6.283,19 mrad ανά πλήρη κύκλο. Το NATO mil στρογγυλοποιείται σε 6.400 ανά κύκλο για καθαρότερες υποδιαιρέσεις πυροβολικού, οπότε 1 NATO mil ≈ 0,05625° ≠ 1 αληθές mrad. Αυτός ο υπολογιστής υλοποιεί το αληθές χιλιοστοακτίνιο· αν το reticle της διόπτρας σας είναι σημαδεμένο σε NATO-mil (συνηθισμένο σε σκοπευτικά συστήματα τυποποίησης NATO, π.χ. το HK G3 παραγωγής ΕΑΣ που χρησιμοποίησε ο Ελληνικός Στρατός), πολλαπλασιάστε με 6400/(2000π) ≈ 1,01859 πριν την εισαγωγή.
Χρησιμοποιήστε στροφές για προδιαγραφές περιστροφής και λογική μοναδιαίου κύκλου. Η «1,5 στροφές» είναι πολύ πιο αναγνώσιμη από το «3π rad» ή «540°» όταν μιλάτε για βαρούλκο, βηματικό κινητήρα ή κουμπί ρύθμισης — και είναι η μορφή που χρησιμοποιούν τα περισσότερα φύλλα δεδομένων κινητήρα. Η στροφή είναι επίσης ο πιο καθαρός τρόπος διδασκαλίας του μοναδιαίου κύκλου: γωνίες μεταξύ 0 και 1 στροφής αντιστοιχούν άμεσα σε κλάσματα του κύκλου, χωρίς αδέξιες κλιμακώσεις 0-360 ή 0-2π.
Όταν το αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο από 10¹² (ένα τρισεκατομμύριο) ή μικρότερο από 10⁻³ σε αυτόματη ακρίβεια, η εμφάνιση μεταβαίνει σε επιστημονικό συμβολισμό. Είναι σκόπιμο: η μετατροπή ενός δευτερολέπτου τόξου σε στροφές δίνει ≈ 7,72 × 10⁻⁷ tr — αναγνώσιμο σε επιστημονικό συμβολισμό, μη αναγνώσιμο ως 0,000000772 tr.
Για το ελληνικό σχολικό μάθημα Τριγωνομετρίας στη Β΄ Λυκείου, οι γωνίες-κλειδιά που πρέπει να ξέρετε νοερά είναι: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π, 270° = 3π/2, 360° = 2π. Όλες αυτές είναι ρητά πολλαπλάσια του π, οπότε ο υπολογιστής τις εμφανίζει ως άρρητες δεκαδικές αναπαραστάσεις (1,5707963…, 0,5235987…) — αλλά οι ίδιες οι σχέσεις είναι ακριβείς εξ ορισμού.

Μετατροπέας Γωνίας — Συχνές Ερωτήσεις

Είναι δωρεάν αυτός ο μετατροπέας γωνίας;

Ναι. Ο υπολογιστής είναι δωρεάν, δεν απαιτεί λογαριασμό, εκτελείται εξ ολοκλήρου στον περιηγητή σας και είναι χωρίς διαφημίσεις. Η ενσωματώσιμη έκδοση iframe στο /widget/angle-converter είναι επίσης δωρεάν και χωρίς διαφημίσεις, ώστε να την τοποθετήσετε σε εκπαιδευτικό υλικό τριγωνομετρίας, σε ιστότοπους τοπογραφικών γραφείων, σε ιστολόγια βαλλιστικής ή σε αστρονομικούς συλλόγους χωρίς να εκθέσετε τους αναγνώστες σε third-party tracker.

Πόσο ακριβείς είναι οι συντελεστές μετατροπής;

Οι συντελεστές για ακτίνιο και χιλιοστοακτίνιο είναι ακριβείς σε IEEE-754: 1 mrad = 10⁻³ rad ακριβώς. Οι συντελεστές μοίρα (π/180), βαθμός (π/200), στροφή (2π), πρώτο λεπτό τόξου (π/10.800) και δεύτερο λεπτό τόξου (π/648.000) είναι μαθηματικά ακριβείς εξ ορισμού — το Φυλλάδιο SI της BIPM τους τυπώνει ως bit-exact λόγους — αλλά κάθε μετατροπή που τους εμπλέκει κουβαλά λίγα ulps αναπαραστατικής απόκλισης, γιατί το π δεν αναπαρίσταται ακριβώς σε 64-bit double. Ο υπολογιστής σημαίνει αυτές τις μετατροπές ως κατά προσέγγιση για να είναι ειλικρινής μαζί σας.

Πώς μετατρέπω μοίρες σε ακτίνια;

Πολλαπλασιάστε τις μοίρες με π/180. Έτσι 30° = 30 × π/180 = π/6 ≈ 0,5236 rad, 45° = π/4 ≈ 0,7854 rad, 90° = π/2 ≈ 1,5708 rad και 180° = π ≈ 3,1416 rad. Η σχέση είναι ακριβής εξ ορισμού· η δεκαδική τιμή είναι άρρητη επειδή το π είναι άρρητο. Σε αυτόν τον υπολογιστή ορίστε Από = Μοίρα, Σε = Ακτίνιο και πληκτρολογήστε την τιμή σε μοίρες — το αποτέλεσμα ενημερώνεται σε κάθε πληκτρολόγηση.

Πώς μετατρέπω ακτίνια σε μοίρες;

Πολλαπλασιάστε τα ακτίνια με 180/π. Έτσι 1 rad ≈ 57,2958°, π/2 rad = 90° ακριβώς, π rad = 180° ακριβώς και 2π rad = 360° ακριβώς. Η αντίστροφη κατεύθυνση είναι άρρητη σε μορφή: 180/π = 57,29577951308232… είναι άρρητος αριθμός που μπορείτε να εκτυπώσετε σε όσα δεκαδικά θέλετε, αλλά ποτέ πεπερασμένα. Για 15 δεκαδικά, ορίστε τον επιλογέα ακρίβειας στα 15.

Πόσα ακτίνια είναι μία μοίρα;

Μία μοίρα ισούται με π/180 ακτίνια, περίπου 0,0174533 rad. Είναι ο ίδιος αριθμός που εμφανίζεται σε κάθε σχολικό βιβλίο Άλγεβρας της Β΄ Λυκείου ως ο πολλαπλασιαστής μοίρα-σε-ακτίνιο. Η σχέση είναι ακριβής εξ ορισμού.

Πόσο είναι 1 mrad σε MOA;

Ένα χιλιοστοακτίνιο ισούται με περίπου 3,4377 πρώτα λεπτά τόξου (MOA). Ο ακριβής τύπος είναι 10.800 / (1.000π). Στα 100 γυάρδες, 1 mrad καλύπτει περίπου 3,6 ίντσες· 1 MOA καλύπτει περίπου 1,047 ίντσες.

Ποια η διαφορά ανάμεσα σε βαθμό (gon) και μοίρα;

Ένας βαθμός (gon) είναι το 1/400 ενός πλήρους κύκλου· μια μοίρα είναι το 1/360. 1 gon = 0,9° ακριβώς και 1° = 10/9 gon ≈ 1,111 gon. Μια ορθή γωνία είναι 100 gon εναντίον 90°. Ο βαθμός επινοήθηκε στη μετα-επαναστατική Γαλλία το 1793 για να δώσει δεκαδική υποδιαίρεση της ορθής γωνίας· εξακολουθεί να είναι πρότυπο στη γαλλική και ελβετική κτηματολογική τοπογραφία, αλλά δεν ανήκει στο SI και σπάνια εμφανίζεται εκτός τοπογραφικών εφαρμογών. Στην ελληνική τοπογραφία οι μοίρες είναι η κύρια μονάδα· ο βαθμός εμφανίζεται κυρίως σε ορισμένα ευρωπαϊκής κατασκευής total station ως εναλλακτική ένδειξη.

Τι είναι το δευτερόλεπτο τόξου και πού χρησιμοποιείται;

Ένα δευτερόλεπτο τόξου είναι το 1/3.600 της μοίρας, ή π/648.000 rad ≈ 4,848 × 10⁻⁶ rad. Είναι η κανονική γωνιακή μονάδα της παρατηρησιακής αστρονομίας: το διαστημικό τηλεσκόπιο Hubble διακρίνει περίπου 0,05 δευτερόλεπτα τόξου, το NIRCam του τηλεσκοπίου James Webb φτάνει τα 0,07 δευτερόλεπτα τόξου στα 2 μm και οι μετρήσεις αστρικής παράλλαξης (που ορίζουν το παρσέκ) λειτουργούν σε δευτερόλεπτα τόξου. Το ανθρώπινο μάτι μόλις διακρίνει ένα πρώτο λεπτό της μοίρας, οπότε οποιαδήποτε λεπτομέρεια κλίμακας δευτερολέπτου τόξου απαιτεί τηλεσκόπιο. Για ένα ερασιτεχνικό τηλεσκόπιο 8 ιντσών ο τύπος Dawes δίνει 4,56/8 ≈ 0,57 arcsec.

Γιατί 1 στροφή ισούται με 2π ακτίνια;

Επειδή το ακτίνιο ορίζεται ως η γωνία που σχηματίζεται στο κέντρο ενός κύκλου από τόξο με μήκος ίσο με την ακτίνα. Ο μοναδιαίος κύκλος έχει περιφέρεια 2π, οπότε μία πλήρης περιστροφή σαρώνει ακριβώς 2π τέτοια τόξα.

Ποια η διαφορά ανάμεσα σε αληθές χιλιοστοακτίνιο και NATO mil;

Ένα αληθές χιλιοστοακτίνιο είναι ακριβώς 10⁻³ rad, δίνοντας 2.000π ≈ 6.283,19 mrad ανά πλήρη κύκλο. Το NATO mil στρογγυλοποιείται σε 6.400 ανά κύκλο για καθαρότερες υποδιαιρέσεις πυροβολικού, οπότε 1 NATO mil ≈ 0,05625° ≠ 1 αληθές mrad — οι δύο μονάδες διαφέρουν περίπου 1,86%. Το mil του Συμφώνου της Βαρσοβίας χρησιμοποιούσε 6.000 ανά κύκλο και το σουηδικό streck 6.300. Αυτός ο υπολογιστής υλοποιεί το αληθές χιλιοστοακτίνιο· πολλαπλασιάστε με 6400/(2000π) ≈ 1,01859 αν το reticle σας είναι σημαδεμένο σε NATO-mil.

Πώς μετατρέπω μοίρες-πρώτα-δεύτερα (DMS) σε δεκαδικές μοίρες;

Χρησιμοποιήστε τον τύπο: δεκαδικές μοίρες = μοίρες + πρώτα/60 + δεύτερα/3.600. Παράδειγμα: 38° 35′ 15″ = 38 + 35/60 + 15/3.600 = 38,5875°. Στη συνέχεια εισαγάγετε αυτή τη δεκαδική τιμή σε αυτόν τον υπολογιστή. Χάρτες και τοπογραφικά όργανα ακόμη τυπώνουν DMS, αλλά κάθε πακέτο GIS και ο περισσότερος εκπαιδευτικός εξοπλισμός περιμένει τη δεκαδική μορφή.

Μπορώ να ενσωματώσω αυτόν τον μετατροπέα στον ιστότοπό μου;

Ναι. Η ενσωματώσιμη έκδοση βρίσκεται στο /widget/angle-converter· αντιγράψτε το iframe από τη σελίδα ενσωμάτωσης. Το iframe είναι χωρίς διαφημίσεις, χωρίς εξαρτήσεις, αποκριτικό για κινητά και δεν κληρονομεί third-party tracker — χρήσιμο για καθηγητές μαθηματικών, intranet τοπογραφικών γραφείων, blog βαλλιστικής και αστρονομικούς συλλόγους που θέλουν έναν καθαρό μετατροπέα γωνίας χωρίς να στέλνουν τους αναγνώστες σε σελίδα τρίτου. Παράδειγμα: .

Είναι το βαθμός το ίδιο με το gon;

Ναι. Οι όροι «βαθμός», «gon» και «grade» ονομάζουν την ίδια μονάδα: 1/400 ενός πλήρους κύκλου, ακριβώς π/200 ακτίνια, ακριβώς 0,9 μοίρες. Το διεθνές σύμβολο κατά ISO 80000-3 είναι gon.

Βασικοί Όροι Μετατροπής Γωνίας

Ακτίνιο (rad)

Η συνεκτική παράγωγη μονάδα SI για την επίπεδη γωνία, ορισμένη στο Φυλλάδιο SI της BIPM §2.3.4 ως η γωνία που σχηματίζεται στο κέντρο ενός κύκλου από τόξο με μήκος ίσο με την ακτίνα. Μία πλήρης στροφή ισούται με 2π ακτίνια· 1° = π/180 rad. Το ακτίνιο είναι αδιάστατο και είναι η φυσική μονάδα για τον λογισμό, τη φυσική και την επεξεργασία σήματος.

Χιλιοστοακτίνιο (mrad)

Το ένα χιλιοστό ενός ακτινίου, ακριβές κατά πρόθεμα SI. Χρησιμοποιείται σε διόπτρες τυφεκίου (clicks 0,1 mrad σε διόπτρα), σκόπευτρα πυροβολικού και μηχανολογική ανοχή. 1 mrad ≈ 3,4377 πρώτα λεπτά τόξου (MOA)· 1 mrad καλύπτει περίπου 1 cm στα 100 m ή περίπου 3,6 ίντσες στα 100 γυάρδες. Στους ελληνικούς σκοπευτικούς συλλόγους η μετατροπή mrad↔MOA είναι καθημερινή.

Μοίρα (°)

Μη-SI μονάδα αποδεκτή από το SI, ίση με π/180 ακτίνια ή 1/360 της στροφής. Βαβυλωνιακή εξηκονταδική προέλευση (αριθμός με 60 ως διαιρέτη, χρήσιμος για αριθμητική). Πρότυπο στην καθημερινή γεωμετρία, στη σχολική Τριγωνομετρία της Β΄ Λυκείου, στο CAD/CNC, στη ναυσιπλοΐα, στο γεωγραφικό πλάτος/μήκος, στο ελληνικό κτηματολόγιο και στα περισσότερα τοπογραφικά διαγράμματα. Κωδικοποιημένη στο ISO 80000-3:2019.

Βαθμός (gon, gradian)

Μονάδα επίπεδης γωνίας ίση με 1/400 της στροφής, ακριβώς π/200 ακτίνια ή 0,9 μοίρες. Επινοήθηκε στη μετα-επαναστατική Γαλλία το 1793 ως δεκαδική υποδιαίρεση της ορθής γωνίας (100 gon = 90°). Ακόμη πρότυπο στην ηπειρωτική ευρωπαϊκή κτηματολογική τοπογραφία. Δεν ανήκει στο SI· το ISO 80000-3 καθορίζει το σύμβολο «gon». Στην Ελλάδα εμφανίζεται κυρίως σε γεωδαιτικούς σταθμούς ευρωπαϊκής κατασκευής ως εναλλακτική ένδειξη, αλλά τα ελληνικά κτηματολογικά διαγράμματα χρησιμοποιούν μοίρες.

Στροφή (tr)

Μία πλήρης περιστροφή: ακριβώς 2π ακτίνια, 360 μοίρες ή 400 βαθμοί. Χρησιμοποιείται στη μηχανική περιστροφής, στις προδιαγραφές κινητήρα και κωδικοποιητή και στη διδασκαλία του μοναδιαίου κύκλου. Σύμβολα: tr, rev, cyc. Αναφέρεται και ως κύκλος, περιστροφή ή πλήρης κύκλος.

Πρώτο λεπτό τόξου (′, arcmin, MOA)

Το ένα εξηκοστό της μοίρας, ακριβώς π/10.800 ακτίνια. Στην αστρονομία και τη ναυσιπλοΐα είναι η γωνιακή μονάδα στην οποία το ανθρώπινο μάτι μόλις διακρίνει λεπτομέρεια (διακριτική ικανότητα ≈ 1 arcmin). Στα πυροβόλα όπλα ονομάζεται «λεπτό της γωνίας» (MOA) και ισούται με περίπου 1,047 ίντσες στα 100 γυάρδες. Η πανσέληνος υποτείνει περίπου 31 πρώτα λεπτά τόξου.

Δεύτερο λεπτό τόξου (″, arcsec)

Το ένα εξηκοστό του πρώτου λεπτού τόξου, ή το 1/3.600 της μοίρας — ακριβώς π/648.000 ακτίνια ≈ 4,848 × 10⁻⁶ rad. Η κανονική μονάδα της παρατηρησιακής αστρονομίας: το Hubble διακρίνει περίπου 0,05 δευτερόλεπτα τόξου, το NIRCam του JWST περίπου 0,07 δευτερόλεπτα τόξου στα 2 μm. Ένα παρσέκ είναι η απόσταση στην οποία 1 AU υποτείνει ακριβώς 1 δευτερόλεπτο τόξου. Για ένα ερασιτεχνικό τηλεσκόπιο 8 ιντσών ο τύπος Dawes δίνει ω ≈ 0,57 arcsec.

Φυλλάδιο SI της BIPM

Το κεντρικό κείμενο ορισμού του Διεθνούς Συστήματος Μονάδων, που διατηρείται από το Bureau International des Poids et Mesures. Η 9η έκδοση (2019, με διορθώσεις έως το 2025) ορίζει το ακτίνιο στην §2.3.4 ως τη συνεκτική παράγωγη μονάδα SI για την επίπεδη γωνία. Το ISO 80000-3:2019 αντικατοπτρίζει τους ίδιους ορισμούς για τις μονάδες επίπεδης γωνίας.

Σημαντικά ψηφία

Τα ψηφία ενός αριθμητικού αποτελέσματος που φέρουν σημασία ως προς την ακρίβειά του. Η αυτόματη ακρίβεια σε αυτόν τον υπολογιστή στοχεύει σε 6 σημαντικά ψηφία, την προεπιλογή για μηχανολογικούς πίνακες. Το NIST SP 811 παραθέτει συντελεστές μετατροπής με 6 ή 7 σημαντικά ψηφία.

Διπλή ακρίβεια IEEE-754

Η μορφή κινητής υποδιαστολής 64 bit που χρησιμοποιείται από τη JavaScript και τους περισσότερους υπολογιστές. Μεταφέρει περίπου 15-17 σημαντικά δεκαδικά ψηφία. Το π δεν αναπαρίσταται ακριβώς σε αυτή τη μορφή, οπότε κάθε μετατροπή γωνίας που πολλαπλασιάζει ή διαιρεί με π κουβαλά λίγα ulps αναπαραστατικής απόκλισης — γι' αυτό ο υπολογιστής σημαίνει τις μετατροπές μοίρας/βαθμού/στροφής/arcmin/arcsec ως «κατά προσέγγιση» ακόμη κι αν οι μαθηματικοί ορισμοί είναι ακριβείς.

Επιστημονικός συμβολισμός

Τρόπος γραφής πολύ μεγάλων ή πολύ μικρών αριθμών ως συντελεστή επί δύναμη του δέκα, π.χ. 1 δευτερόλεπτο τόξου = 4,84814 × 10⁻⁶ rad. Ο υπολογιστής μεταβαίνει αυτόματα σε αυτόν τον συμβολισμό σε αυτόματη ακρίβεια όταν τα αποτελέσματα πέφτουν εκτός του εύρους 10⁻³ έως 10¹² (τρισεκατομμύριο).

Τύπος Dawes

Εμπειρικός τύπος για τη διακριτική ικανότητα ενός τηλεσκοπίου: ω (σε δευτερόλεπτα τόξου) ≈ 4,56 / D, όπου D είναι η διάμετρος του αντικειμενικού σε ίντσες. Πρακτικά πρότυπα ελληνικά ερασιτεχνικά τηλεσκόπια 6-10 ιντσών δίνουν διακριτική ικανότητα 0,46-0,76 arcsec — αρκετή για να αναλύσουν διπλά αστέρια όπως ο Αλκόρ-Μιζάρ. Η ατμοσφαιρική τύρβη και τα χαρακτηριστικά του παρατηρητή συνήθως εμποδίζουν την επίτευξη αυτού του θεωρητικού ορίου.

Πηγές και αναφορές

Περιεχόμενο επαληθευμένο από την ομάδα Smart Calculators